Limites : Assintota obliqua

por **Fernandobertolaccini** » Sáb Jul 26, 2014 12:24

Sabe-se que o gráfico da função F(x) = raiz cúbica de $\sqrt[3]{6x^2-x^3}$ possui uma assintota oblíqua. Determine a equação dessa assintota e prove que a curva de F(x) intercepta a mesma.

resp: y= - x + 2

Muito obrigado ;D

por **ant_dii** » Dom Jul 27, 2014 05:04

Fernandobertolaccini escreveu:Sabe-se que o gráfico da função F(x) = raiz cúbica de $\sqrt[3]{6x^2-x^3}$ possui uma assintota oblíqua. Determine a equação dessa assintota e prove que a curva de F(x) intercepta a mesma.

resp: y= - x + 2

Muito obrigado ;D

Não ficou claro se você quer encontrar a assíntota de $F(x)=\sqrt[3]{6x^2-x^3}$ ou de $F(x)=\sqrt[3]{\sqrt[3]{6x^2-x^3}}$ .

Se for o primeiro (ou também o segundo, pois o método é o mesmo) você deve encontrar uma reta que tem equação y=ax+b

tal que $a=\lim_{x\rightarrow \infty} \left[\frac{F(x)}{x}\right]$ ou $a=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left[\frac{F(x)}{x}\right]$ e $b=\lim_{x\rightarrow \infty} \left[F(x)-ax\right]$ ou $b=\lim_{x\rightarrow \infty} \left[F(x)-ax\right]$ .

Assim,
$a=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \left[\frac{\sqrt[3]{6x^2-x^3}}{x}\right]=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \left[\frac{\sqrt[3]{6x^2-x^3}}{\sqrt[3]{x}}\right]=\newline \newline \lim_{x\rightarrow \pm \infty} \left[\sqrt[3]{\frac{6x^2-x^3}{x^3}}\right]=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \left[\sqrt[3]{\frac{6}{x}-1}\right]=-1$

e $b=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left[F(x)+ax\right]=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left[\sqrt[3]{6x^2-x^3}-(-1)x\right]=$

$=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\left[\sqrt[3]{6x^2-x^3}+x\right]\left[(\sqrt[3]{6x^2-x^3})^{2}-x\sqrt[3]{6x^2-x^3}+x^{2}\right]}{\left[(\sqrt[3]{6x^2-x^3})^{2}-x\sqrt[3]{6x^2-x^3}+x^{2}\right]}=$

$=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{6x^2}{\left[(\sqrt[3]{6x^2-x^3})^{2}-x\sqrt[3]{6x^2-x^3}+x^{2}\right]}=\frac{6}{3}=2$

Tente fazer os cálculos sozinho e verifique porque para encontrar o valor de

usei $x\rightarrow -\infty$ e não $x\rightarrow \infty$ .

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