Função Seno

por **thamires thais** » Qui Jul 17, 2014 16:06

Estou com dificuldades para resolver esse questão. Se poderem me ajudar, ficarei grata.
Questão foto1

por **Russman** » Qui Jul 17, 2014 22:25

Bom, me parece um problema de maximização. Você busca o maior ângulo que a função f(t)

pode assumir. Este problema é resolvido calculando para qual

que a derivada de f(t)

com relação a

se anula. Portanto,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}f(t)=0 \Rightarrow \frac{\pi }{9}\frac{8 \pi }{3} \cos \left [ \frac{8 \pi}{3}\left (t-\frac{3}{4} \right ) \right ]=0$

e, de onde,

$\cos \left [ \frac{8 \pi}{3}\left (t-\frac{3}{4} \right ) \right ]=0 \Rightarrow \frac{8 \pi}{3} \left (t-\frac{3}{4} \right ) = \left ( k+\frac{1}{2} \right ) \pi \Rightarrow t=\frac{3}{8}\left ( k+\frac{5}{2})$

com $k \in \mathbb{Z}$ .

Estamos interessados em tempo positivos. Então, para qual k inteiro que temos o menor tempo positivo? Esta pergunta é pertinente pois sendo a função seno periódica o ângulo máximo será atingido várias vezes e queremos saber a primeira vez que é atingido. Assim,

$t>0 \Rightarrow \frac{3}{8}\left ( k+\frac{5}{2} \right )>0 \Rightarrow k>-\frac{5}{2} \Rightarrow k>-2$

e, daí, a primeira vez que o ângulo máximo é atingido é em

$t= \frac{3}{8}\left ( -2+\frac{5}{2} \right ) = \frac{3}{16}$ .

Finalmente,

$f\left ( \frac{3}{16} \right ) = \frac{ \pi}{9} \sin \left [ \frac{8 \pi}{3}\left ( \frac{3}{16} - \frac{3}{4} \right ) \right ] = \frac{\pi}{9} \sin \left [ -\frac{8 \pi}{3} \frac{9}{16}\right ] = \frac{\pi}{9}$

Este angulo equivale a $20 ^{\circ}$ .

por **thamires thais** » Qui Jul 17, 2014 22:34

Russman escreveu:Bom, me parece um problema de maximização. Você busca o maior ângulo que a função pode assumir. Este problema é resolvido calculando para qual que a derivada de com relação a se anula. Portanto,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}f(t)=0 \Rightarrow \frac{\pi }{9}\frac{8 \pi }{3} \cos \left [ \frac{8 \pi}{3}\left (t-\frac{3}{4} \right ) \right ]=0$

e, de onde,

$\cos \left [ \frac{8 \pi}{3}\left (t-\frac{3}{4} \right ) \right ]=0 \Rightarrow \frac{8 \pi}{3} \left (t-\frac{3}{4} \right ) = \left ( k+\frac{1}{2} \right ) \pi \Rightarrow t=\frac{3}{8}\left ( k+\frac{5}{2})$

com $k \in \mathbb{Z}$ .

Estamos interessados em tempo positivos. Então, para qual k inteiro que temos o menor tempo positivo? Esta pergunta é pertinente pois sendo a função seno periódica o ângulo máximo será atingido várias vezes e queremos saber a primeira vez que é atingido. Assim,

$t>0 \Rightarrow \frac{3}{8}\left ( k+\frac{5}{2} \right )>0 \Rightarrow k>-\frac{5}{2} \Rightarrow k>-2$

e, daí, a primeira vez que o ângulo máximo é atingido é em

$t= \frac{3}{8}\left ( -2+\frac{5}{2} \right ) = \frac{3}{16}$ .

Finalmente,

$f\left ( \frac{3}{16} \right ) = \frac{ \pi}{9} \sin \left [ \frac{8 \pi}{3}\left ( \frac{3}{16} - \frac{3}{4} \right ) \right ] = \frac{\pi}{9} \sin \left [ -\frac{8 \pi}{3} \frac{9}{16}\right ] = \frac{\pi}{9}$

Este angulo equivale a $20 ^{\circ}$ .

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