Função inversa

por **Janoca** » Seg Jun 30, 2014 00:37

Essa questão postei nesse tópico, porque estou com dificuldade nessa função inversa, e consequentemente posso me atrapalhar na derivada desse tipo de função inversa.
Questão:
Seja $f(x)=\frac{{e}^{x}- {e}^{-x}}{2}$ .

Mostre que f é inversível e determine sua inversa g.

a resposta desta questão é $y=ln(x+\sqrt[]{x^2+1})$ , manipulei algebricamente mas não sei onde errei.

por **e8group** » Seg Jun 30, 2014 02:03

Fica subtendido que

foi definida de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ .

As informações (a),(b) e (c) são equivalentes ; e também (d) e (e) os são .

(a) f é injetora
(b) f admite inversa à esquerda
(c) f é estritamente monótona

(d) f é sobrejetora
(e) f admite inversa à direita

Se

satisfaz um dos itens (a),(b) ou (c) juntamente com (d) ou (e) , então

é bijetora .(admite inversa)

Vamos mostrar que f é sobrejetora .

Uma forma possível : (TVI)

$\lim_{x\to + \infty} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x\to - \infty} f(x) = -\infty$ .Como

é contínua , (pois é escrita como soma de duas funções contínuas ) , então dado qualquer $k \in (-\infty , +\infty)$ , o TVI garanti que existe

em $(-\infty , +\infty)$ t.q f(c) = k

o que implica

sobrejetiva .

Quanto a injetividade segue por $f'(x) > 0 , \forall x$ (verifique )[isso significa que f é estritamente crescente ] .

Outra forma ...

Fixe

real (a princípio arbitrário , se precisar de + hipóteses , trabalhe em cima dos casos isoladamente) . Note que $\frac{e^{x} -e^{-x}}{2} \in \mathbb{R}$ . Deixe

$y = \frac{e^{x} -e^{-x}}{2} (*)$ isto equivale $2y = e^{x} -e^{-x} = e^x - (e^x)^{-1}$ . Agora resolva a eq. para e^x

e depois tome o ln em ambos lados . (Dica use a fórmula resolvente e.q segundo grau ) .

A ideia é ...

Para cada x que escolho consigo obter um único

correspondente através de (*) , e reciprocamente ; para cada y que escolho consigo obter um único

obtido pela solução acima .