Derivada Implicita

por **Janoca** » Dom Jun 22, 2014 02:40

Questão:

Suponha que y=f(x)

seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y^3 + 2xy^2+x=4

. suponha, ainda, que $1\in {D}_{f}$ .
a) Calcule f(1)

.

b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.

Não consigo resolver, pq a letra a é igual a 1. eu sei como resolver a reta tangente, mas como não entendi o f(1), não da de fazer a letra b.

Ajudem-me

por **e8group** » Dom Jun 22, 2014 12:57

Não conseguiu ? Talvez conseguiste , check a resolução abaixo .

A reta requerida passa pelo ponto (1,f(1))

e seu coeficiente angular é $\lim_{x\to 1} \frac{f(x) - f(1) }{x-1}$ que igual a f'(1)

se o limite for finito e existir; se dê infinito, bem provável que esta reta é perpendicular à reta $y = 0 , x \in \mathbb{R}$ (eixo x) e se for finito , em particular zero , esta reta será paralela ao eixo x . Tô dizendo isso , por que estas duas situações podem ocorrer . Segue de (a) ,

[y^3 +2xy^2 +x]' = 0

\iff $3 y^2 y' + 2y^2 + 4x yy' + 1 = 0 , \forall x \in D_f$ .

Levando em conta que seus cálculos estão certos y(1) = 1

,

\iff [/tex] 7 y'(1) + 3 = 0 [/tex] \iff $y'(1) = - \frac{3}{7}$ .

Da forma que você se expressou , pensei que uma daquelas situações tinha ocorrido , mas não .