Valor médio

por **Janoca** » Ter Jun 17, 2014 01:05

Com base nesse gráfico que anexei, peço que me ajudem a resolver esta questão;
No intervalo $0\leq t \leq 10$ , o valor médio de f(t), $\frac{1}{10}\int_{0}^{10}f(t)dt$ é:
a) entre 0 e 1;
b) 0;
c) entre 0 e -1;
d) g(1);
e) entre -1 e -2.

Não sei como responder.

por **alienante** » Ter Jun 17, 2014 19:07

Seja f(c) o velor médio dá função representada pelo gráfico dado

por **e8group** » Ter Jun 17, 2014 21:47

Se me permitem participar ; analisando o gráfico consegui obter um limitante inferior para integral 0.025

(levando em conta que o raciocínio estar certo ) . Infelizmente perdi a conexão com a internet e o que eu tinha feito perdi .

Então , segue uma dica :

Decomponha a integral em soma de integrais,sendo cada uma delas sobre um dos intervalos

[0,1] ; [1,3] ; [3,7] ; [7,9]

e

.

No primeiro intervalo , note que a área do triângulo retângulo (base medindo 1/2 e altura 3 ) que é 1/4

é menor que a integral de f(x) sobre o mesmo intervalo ; no segundo (compare por área de retângulo ) ,
$\int_{1}^3 f(x) dx > -4$ ; no terceiro (compare por área de trapézio ) , $\int_{3}^7 f(x) dx > \frac{4+2}{2}f(4) \geq \frac{9}{4}$ ; no quarto (compare por área de retângulo ) $\int_7^9f(x) dx > -2$ e no último (compare com área de triângulo ) $\int_9^{10} f(x) dx \geq \frac{f(10)}{2} \geq 1$ .

Somando-se obterá o limitante inferior 0.25 .

Resumidamente foi nesta linha que trabelhei .

por **Janoca** » Qua Jun 18, 2014 13:15

A resposta certa não seria a letra a? ao inves da c.

por **alienante** » Qua Jun 18, 2014 14:07

concorda comigo que pelo gráfico f(10)<f(0)? logo f(10)-f(0)<0, só seria a letra a se e somente se f(10)-f(0)>0

por **Janoca** » Qua Jun 18, 2014 14:59

Concordo! Obrigada

por **e8group** » Qua Jun 18, 2014 15:34

Caro , alienante . Acho que você está equivocado , não está ? Ou eu estou raciocinando erroneamente ??

" concorda comigo que pelo gráfico f(10)<f(0)? logo f(10)-f(0)<0, só seria a letra a se e somente se f(10)-f(0)> 0"

Isto é falso . Contra-exemplo :

Defina $f : x \mapsto f(x) = epx(-2x)$ . Nós temos

$f(10) - f(0) = epx(-20) - 1 = \frac{1}{e^{20}} - 1 < 0$ , mas !

$\frac{1}{10} \int_0^{10} exp(-2x) dx = \frac{1}{20} (exp(0) - exp(-20)) = \frac{1 - exp(-20)}{20} \in (0,1)$ .

No mínimo a integral requerida está entre -2 e 3

, pois vê-se no gráfico que a função é limitada inferiormente por

e superiormente por

e a integral cumpre com a monotonicidade .

Até aqui , os itens que fazem sentido são as letras (a)

e

entretanto , pelo post acima visto que a integral é limitada inferiormente por um n° entre zero e 1 ; logo só pode ser (a) .

Para frisar o que estou dizendo vou deixar a imagem anexada , compare a integral com a área dos retângulos , triângulos e trapézios .