Indução Matemática

por **leticiapires52** » Ter Jun 17, 2014 10:55

A indução matemática é uma ferramenta que permite estabelecer verdades matemáticas válidas sobre subconjuntos infinitos de números naturais, isto é, trata de provar que uma sentença aberta é verdadeira para um certo, então para verificar se o princípio é valido o que deve ser feito?

por **e8group** » Qui Jun 19, 2014 14:19

A ideia é ... dada uma propriedade P(n)

a qual é verdadeira para n = 1

,você supõe que para um

arbitrário P(n)

é verdadeira e com base nesta suposição mostra que P(n+1)

também é verdadeira . Ou seja, você está dizendo que $\Omega = \{ n \in \mathbb{N} ; P(n) \} = \mathbb{N}$ , pois
$1 \in \Omega$ e $n \in \Omega$ (Hipótese ) $\implies n+1 \in \Omega$ implicando $\mathbb{N} \subset \Omega$ .(Se o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes e esta é maior o todo ; logo só pode ser $\mathbb{N} = \Omega$ )

Para começar a brincadeira ...comece com

$\Omega$ = o subconjunto dos números naturais

para os quais $1+ \hdots + n = \frac{(n+1)n}{2}$ ,i.e, $\Omega = \{ n \in \mathbb{N} ; P(n) : \quad 1+ \hdots + n = \frac{(n+1)n}{2} \}$ .

Deve-se fazer o seguinte :

(i) Verificar que

pertence a $\Omega$ ,i.e , checkar se P(1)

é verdadeiro .

(ii) Sendo P(1)

verdadeiro ; assuma que $n \in \Omega$ ,i.e, P(n)

é verdadeiro .

(iii) Mostre que $P(n) \implies P(n+1) (\iff n \in \Omega \implies n+1 \in \Omega )$ .

Há centenas de exemplos aqui no fórum bem como em outros fóruns e sites .

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