Gráfico + circunferência = ?

[IsadoraLG]

Olá,

Não estou conseguindo resolver este exercício, e gostaria de saber se há alguma técnica específica para casos em que há circunferências e gráficos.

(UFMG) Na figura, C é o centro da circunferência, M é o ponto médio de CB e DE é perpendicular à AB. Se A= (1,-1) e C=(5,2), então o comprimento de DE é:

Coloquei um anexo da imagem também.

[Russman]

A questão dá tanta informação que é fácil ficar confuso em qual método de solução investir.

Eu faria assim:

Já que definimos um sistema de eixos x e y, podemos mapear essa circunferência definindo a equação que a gera. Você deve saber que a equação de uma circunferência de cento no ponto genérico e raio é



Daí, a nossa circunferência de centro se escreve como

.

Mas, e o raio? Outro ponto foi dado: o ponto A de coordenadas . Portanto, deve ser verdade que



de onde .

Note que a reta que liga o ponto B ao A é uma contante. Os pontos estão na mesma "altura", com relação ao eixo y. Isto é, as coordenadas de B devem ser . Com isso, já que B pertence a circunferência, entao




de onde ou . Mas se então que não reflete a nossa situação. Portanto, .

Agora, se M é o ponto médio de , não é difícil de mostrar que .
Assim, .

Veja que os pontos D e E são pontos que pertencem a circunferência e, ao mesmo tempo, tem ambos coordenada x igual a coordenada x de M!
Portanto, a única forma de e se ajustarem a geometria a qual lhes é sugerida é o cumprimento de




Certo?

Resolvendo, genericamente, a equação



você obtem . Como e o ponto D está "mais alto" que E, então e .

Finalmente, a distância esntre eles será, já que compartilham a mesma coordenada x,