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Gráfico + circunferência = ?

Gráfico + circunferência = ?

Mensagempor IsadoraLG » Dom Mai 25, 2014 23:07

Olá,

Não estou conseguindo resolver este exercício, e gostaria de saber se há alguma técnica específica para casos em que há circunferências e gráficos.

(UFMG) Na figura, C é o centro da circunferência, M é o ponto médio de CB e DE é perpendicular à AB. Se A= (1,-1) e C=(5,2), então o comprimento de DE é:

Coloquei um anexo da imagem também.
Anexos
Exercício UFMG.png
Exercício UFMG Circunferência
Exercício UFMG.png (7.31 KiB) Exibido 1086 vezes
IsadoraLG
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Re: Gráfico + circunferência = ?

Mensagempor Russman » Seg Mai 26, 2014 17:18

A questão dá tanta informação que é fácil ficar confuso em qual método de solução investir.

Eu faria assim:

Já que definimos um sistema de eixos x e y, podemos mapear essa circunferência definindo a equação que a gera. Você deve saber que a equação de uma circunferência de cento no ponto genérico (x,y) = (a,b) e raio r é

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Daí, a nossa circunferência de centro (5,2) se escreve como

(x-5)^2+(y-2)^2 = r^2.

Mas, e o raio? Outro ponto foi dado: o ponto A de coordenadas (1,-1). Portanto, deve ser verdade que

(1-5)^2 + (-1-2)^2 = r^2

de onde r=5.

Note que a reta que liga o ponto B ao A é uma contante. Os pontos estão na mesma "altura", com relação ao eixo y. Isto é, as coordenadas de B devem ser (x_B,-1). Com isso, já que B pertence a circunferência, entao

(x_B - 5)^2+(-1-2)^2=25
(x_B-5)^2 = 16

de onde x_B = 1 ou x_B = 9. Mas se x_B = 1 então A=B que não reflete a nossa situação. Portanto, B=(9,-1).

Agora, se M é o ponto médio de CB, não é difícil de mostrar que M = \left ( \frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2} \right ).
Assim, M = \left ( \frac{9+5}{2},\frac{-1-1}{2} \right ) = \left ( 7,-1 \right ).

Veja que os pontos D e E são pontos que pertencem a circunferência e, ao mesmo tempo, tem ambos coordenada x igual a coordenada x de M!
Portanto, a única forma de D= (7,y_D) e E=(7,y_E) se ajustarem a geometria a qual lhes é sugerida é o cumprimento de

(7-5)^2 + (y_D - 2)^2 = 25
(7-5)^2 + (y_E - 2)^2 = 25

Certo?

Resolvendo, genericamente, a equação

4 + (y - 2)^2 = 25

você obtem y = 2 \pm \sqrt{21}. Como 2 + \sqrt{21} > 2 - \sqrt{21} e o ponto D está "mais alto" que E, então E =(7,2+ \sqrt{21}) e D =(7,2-\sqrt{21}).

Finalmente, a distância esntre eles será, já que compartilham a mesma coordenada x,

d_{ED} = 2+ \sqrt{21} - (2 - \sqrt{21}) = 2 \sqrt{21}
"Ad astra per aspera."
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.