Integrais duplas por coordenadas polares

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Integrais duplas por coordenadas polares

Mensagempor Victor Mello » Dom Mai 25, 2014 16:48

Galera, eu estava tentando resolver essa integral dupla \int\int ye^xdA, onde a região se localiza no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo x^2+y^2 = 25.

Bom, parece que é simples essa integral, mas infelizmente eu não consegui progredir o raciocínio. No começo até eu consegui reconhecer a região limitada, ou seja, o raio é 5 segundo a equação, e o intervalo do ângulo só pode estar entre 0 e \pi/2, já que a região está no primeiro quadrante, até aí tudo bem. Na hora de converter para coordenadas polares, ficou assim: \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{5}rsen\theta*{e}^{rcos\theta}rdrd\theta, e na hora de integrar em relação a r, deu sen\theta\int_{0}^{5}r^2*{e}^{rcos\theta}dr pois o sen\theta se comporta como uma constante para esse caso. Assim, caiu uma integral por partes , mas parece que não deu certo, pois na hora de chamar a r^2 de u e derivar, vai ficar 2rdr o du, e muito menos integrar o dv. Será que tem outro método que simplifique isso, ou é inevitável? Enfim, se alguém puder me ajudar, eu agradeço desde já! :-D

Obrigado!
Victor Mello
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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