Resolução de limites

por **Ana Saldanha** » Sáb Mai 24, 2014 16:39

Não consegui resolver este limite:

$lim_{{0,5}^{-}}\frac{2x-1}{\left|2{x}^{3}-{x}^{2} \right|}$

É um exercício do livro do James Stewart. A resposta é -4

poderiam me ajudar?
Obrigada

por **e8group** » Sáb Mai 24, 2014 17:44

Bom dia ,notasse o problema indeterminado "0/0" ?
Veja que 0.5

é raiz dos dois polinômios do numerador e denominador e também que

(multiplicidade 2) é raiz do denominador ; de fato : 2x^3 -x^2 = (2x)x^2 - x^2 = x^2(2x -1)

. Por definição de módulo , definida qualquer aplicação em que sua imagem é subconjunto dos reais , vale que

$|f(x)| = \begin{cases} f(x) \text{se existe x tal que } f(x) =0 \ \text{ou} \ f(x) > 0\\ -f(x) \text{se existe x tal que } f(x) <0 \end{cases}$

Tendo em conta que | 2x^3 -x^2 | = |x^2(2x-1)| =|x^2||2x-1| = x^2 |2x-1|

| 2x^3 -x^2 | = |x^2(2x-1)| =|x^2||2x-1| = x^2 |2x-1|

para todo x , basta então verificar quando 2x-1

é positivo,nulo ou negativo e assim usar a expressão correspondente que condiz com intervalo que você está trabalhando .

Poderíamos pensar ,o que a função 'faz' com valores menores que 0.5

,mas muito muito próximos dos mesmo . Isto é , dado $\delta > 0$ suficientemente pequeno o quanto você queira , o que acontece com f(x)

com $x \in (0.5 - \delta, 0.5)$ ? Será que f(x)

se aproxima de um número real

,de modo que exista $\epsilon > 0$ pequeno (demais !) para qual o erro cometido na aproximação de f(x)

por

seja sempre menor que $\epsilon$ ?

Na verdade o processo mais natural é ao contrario , vc verifica intuitivamente que f(x) se aproximar de um numero

para x em um intervalo (a princípio desconhecido ) , vc então resolve formalizar está intuição e propõe um $\epsilon > 0$ qualquer , quanto menor ele ,mais próximos estaremos de L , certo ? Desde que x verifique isso . E para x verificar isto , vc tbm verifica e existência do $\delta > 0$ pequeno (mt mesmo !) dependendo do $\epsilon$ para o qual f(x) se aproxima de L com erro sempre menor que $\epsilon$ sempre que x está em (0.5 -\delta ,0.5) .

Enfim , só quero frisar que calcular $\lim_{x\to 0.5} f(x)$ é estudar f(x) na vizinhança de 0.5 (o ponto 0.5 não importa ! E sim , seus "vizinhos" ) .

Dependendo de onde vc está , o sinal de 2x-1 será -1 ou +1 , em qual situação está mesmo ?

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