Limite exponencial

por **Jhennyfer** » Qua Mai 14, 2014 20:07

Pessoal, estou nesta questão faz tempo e não consigo resolver. Ali é x tendendo a zero, não consegui colocar direito.
Tentem me ajudar utilizando apenas recursos algébricos, pois estou no início de cálculo e o prof não aceita soluções por derivação, etc.

$\lim_{0}\frac{9^x-5^x}{x}$

por **e8group** » Qui Mai 15, 2014 02:20

Dica :

Some 1 +(-1) = 0

no numerador . Use associatividade ,distributividade , e escreva 9^x - 5^x = 9^x -1 -(5^x -1)

. Avance .

por **Jhennyfer** » Qui Mai 15, 2014 19:39

Santhiago, ainda não consegui pensar em nada =/ o que eu faço com o denominador?

por **e8group** » Qui Mai 15, 2014 23:49

Como consequência do limite fundamental que designa a constante de Euler , o limite $\lim_{x\to 0} \frac{a^x -1}{x}$ vale ln(a)

para qualquer a > 0

fixado . Desta forma, podemos reescrever o limite dado na forma acima . Para tal é preciso manipular a expressão de forma conveniente .

Tente concluir .

por **Jhennyfer** » Sex Mai 16, 2014 10:36

Bom Santhiago, eu havia resolvido assim...
colocando ln, mas falaram q estava errado, olha só,

$\lim_{o} \frac{ln9^x - ln5^x}{x}$

$\lim_{o} \frac{xln9 - xln5}{x}$

$\lim_{o} \frac{x(ln9 - ln5)}{x}$

$\lim_{o} ln9-ln5$

$\frac{ln9}{ln5}$

Resultado = 1,36

por **e8group** » Sex Mai 16, 2014 13:09

Sim, está errado . Da forma que você fez está alterando o resultado . Note que para qualquer

real

, assim vale que $5^x = ln(e^{5^x})$ (não como você fez) ... mas fazendo isso não resolve , ainda teremos indeterminação .

Podemos usar Regra de L'hospital (temos indeterminação "0/0" ) ou um resultado relacionado com o limite fundamental que já postei .Depende das ferramentas dispostas a usar .

Exemplo :

Usando o resultado .

$\lim_{x\to 0} \frac{ \pi^{x} - e^{x}}{x}$ vale $ln(\pi) - 1$ pois

$\lim_{x\to 0} \frac{ \pi^{x} - e^{x}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{ \pi^{x} - 1 - (e^{x} - 1) }{x} = \lim_{x\to 0} \frac{ \pi^{x} -1}{x} + \lim_{x\to 0} \frac{ e^{x} -1}{x} = ln(\pi) - ln(e)$ .

Ou alternativamente , $\frac{ \pi^{x} - e^{x}}{x} = e^x \frac{\dfrac{\pi^x }{e^x} -1 }{x} = e^x \frac{\left(\dfrac{\pi }{e} \right)^x -1 }{x}$ . Usando a regra do produto , o resultado segue .

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