Não consigo achar o limite

por **CrazzyVi** » Sáb Nov 14, 2009 13:34

Boa tarde, não estou consegindo achar esse limite: $\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}$
E meu professor não pertime l'hopital na prova
jah tentei racionalizar, dividir por [text]\sqrt{x}[/text] e não to cosegindo aí achei esse forum e espero q possam me ajudar
o resultado tem q ser 1/2
obrigado desde jah

por **thadeu** » Seg Nov 16, 2009 13:42

Vou mexer apenas com a expressão para reduzir espaço, ok!!!

Multiplicando por $\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}$

$\sqrt{x+\sqr{x}}-\sqrt{x}\,.\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=\frac{x+\sqrt{x}-x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}$

Agora, no denominador, vamos colocar x em evidência na primeira raiz:

$\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}=\sqrt{x(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}+\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}})+\sqrt{x}$

Colocando $\sqrt{x}$ em evidência, o denominador da fração fica:
$\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1)$

Voltando para o limite:

$lim_{x \to \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}=lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1)}$

Simplificando e substituindo $\infty$ :
$lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$

Confira sua resposta. Um abraço!