[Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação linear

por **Ronaldobb** » Dom Mai 11, 2014 14:40

Por favor, gostaria de ajuda com este exercícios:

1) Descreva o conjunto dos vetores w que são ortogonais a v=(2,1,2) e que u=(1,1,-1) seja combinação linear de v e w.

Eu tentei resolver desse jeito:

Sejam S={v1,v2,v3} Então S={(a,b,c),(2,1,2),(1,1,-1)}

Logo:

v1.v3=(a,b,c).(1,1,-1)=a+b-c=0
v1.v2=(a,b,c).(2,1,2)=2a+b+2c=0
v1.v3=(2,1,2).(1,1,-1)=2+1-2=0

a+b-c=0
2a+b+2c=0
2+1-2=0

Só consegui ir até aí ...

por **Russman** » Dom Mai 11, 2014 16:22

Eu acho q você entendeu errado. Eu entendi que os vetores w têm de ser perpendiculares somente a v. E, ainda, têm de ser tais que seja possível escrever o u como CL destes com v.

De

Ronaldobb escreveu:vetores w que são ortogonais a v=(2,1,2)

obtemos $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}=0$ .

De

Ronaldobb escreveu:e que u=(1,1,-1) seja combinação linear de v e w.

obtemos que devem existir números $a,b \in \mathbb{R}$ tais que

$\overrightarrow{u}=a \overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}$ .

Multiplicando a última relação escalarmente por $\overrightarrow{v}$ somos capazes de calcular

.Note que

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=a \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=av^2+0=av^2$

Ou seja, $a= \frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}$ .

Agora, substituindo esse resultado, vem que

$\overrightarrow{u}=\left ( \frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2} \right )\overrightarrow{v}+b \overrightarrow{w}\Rightarrow \overrightarrow{w}= \frac{\overrightarrow{u}}{b}- \frac{1}{b}\left ( \frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2} \right )\overrightarrow{v}$

para qualquer que seja $b \in \mathbb{R}$ . Daí, podemos tomar $c \in \mathbb{R}$ tal que cb=1

e descrever o conjunto como

$\left \{ \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^3 \ |\ \overrightarrow{w}=c \left (\overrightarrow{u}- \left ( \frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2} \right )\overrightarrow{v} \right ),c \in \mathbb{R}\ \right \}$

por **Ronaldobb** » Dom Mai 11, 2014 21:06

Bom, ... não entendi nada na sua resposta.

A resposta do livro é esta: "É o conjunto dos vetores ?(7,8,-11), com ? $\neq$ $\neq0$

por **Ronaldobb** » Dom Mai 11, 2014 21:07

Bom, ... não entendi nada na sua resposta.

A resposta do livro é esta: "É o conjunto dos vetores ?(7,8,-11), com ? $\neq0$

por **Russman** » Dom Mai 11, 2014 21:24

Ah, então parece estar certo.

Note que

$\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2} = \frac{2+1-2}{9}=\frac{1}{9}$ .

Daí,

$\overrightarrow{u}-\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2} \overrightarrow{v} = (1,1,-1)-\frac{1}{9}(2,1,2)=\left ( \frac{7}{9},\frac{8}{9},-\frac{11}{9} \right )$ .

Já que $\overrightarrow{w}$ é múltiplo de $\left ( \frac{7}{9},\frac{8}{9},-\frac{11}{9} \right )$ e $\left ( \frac{7}{9},\frac{8}{9},-\frac{11}{9} \right )$ é múltiplo de $\left ( 7,8,-11 \right )$ , então
$\overrightarrow{w}$ é múltiplo de $\left ( 7,8,-11 \right )$ .

O que você não entendeu? Está familiarizado com produto escalar?

por **Ronaldobb** » Dom Mai 11, 2014 22:18

Você aplicou a fórmula da normalização? E o vetor w? O que fez com ele?

por **Russman** » Dom Mai 11, 2014 22:29

No primeiro resultado(onde calculei o a) eu simplesmente multipliquei o vetor u escrito como combinação linear(CL) de v e w escalarmente por v. Na primeira parcela teremos o produto escalar de v por ele mesmo. Isto é exatamente o quadrado de seu módulo. Na segunda parcela, já que v e w são perpendiculares, teremos zero, já que o produto escalar de v por w é nulo! Uma vez calculado o a ( note q ele depende apenas de quantidades conhecidas) podemos substituir este resultado na expressão que calcula u como CL de v e w. Assim, já que a única quantidade desconhecida é a de interesse, ou seja, w, podemos isolá-lo. O fato de ele vir multiplicado por um número real na expressão(que é de se esperar, já que a mesma é menção de uma CL) indica que não somente o vetor w que está sendo calculado, mas, sim, todo um conjunto tal que cada um de seus elementos é um vetor que é múltiplo de w.

Mais claro agora?