Limite de várias variáveis

por **braddock** » Seg Mai 05, 2014 04:06

Estou tendo um problema no seguinte limite, x e y tendem a 0, sei que o limite vai dar zero, mas não consigo resolver... se alguém conseguir me ajudar, ficaria grato

$xsin(\frac{1}{x^2+y^2})$

por **e8group** » Seg Mai 05, 2014 10:59

Dica :

Limite de funções da forma que ( u * v ) é zero sempre que uma delas é limitada e o limite da outra é zero .

Sejam $h,f, g : A \subset \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb {R}$ . Defina $h(x_1,\hdots , x_n) = h(X) =f(x_1,\hdots , x_n) \cdot g(x_1,\hdots , x_n) = f(X) \cdot g(X)$ . Suponha

limitada , isto é , existe algum M > 0

tal que $|g(X)| \leq M$ para qualquer que seja o vetor

em

.

Se para algum $X_0 \in A'$ , temos $\lim_{X \to X_0} f(X) = 0$ então $\lim_{X \to X_0} h(X) = 0$ .
(

representa o conjunto dos ponto de acumulação de A)

De fato ,

$\lim_{X \to X_0} h(X) = 0 \iff \forall \epsilon > 0 , \exists \delta(\epsilon) > 0 (*)$ tal que se

$0 < || X - X_0|| < \delta$ então $|h(X) | < \epsilon (**)$ .

Segue-se que

|h(X) | = |f(X)| |g(X) | < |f(X)| M

.

Além disso , por hipótese $\lim_{X \to X_0} f(X) = 0$ , o que significa que dado $\epsilon_1 > 0$ existe um $\delta_1 > 0$ (correspondente) tal que

$0 <|| X - X_0|| < \delta(\epsilon_1)$ implica $|f(X)| < \epsilon_1$ .

Logo ,

$0 <|| X - X_0|| < \delta(\epsilon_1)$ implica $|h(X)|= |f(X)| |g(X) | \leq M|f(X)| < M \epsilon_1$ .

Como a relação acima é verdadeira para qualquer $\epsilon_1 > 0$ , dado $\epsilon > 0$ podemos tomar $\epsilon_1 = \frac{\epsilon }{M}$ e com isso temos

$0 <|| X - X_0|| < \delta(\epsilon_1)$ implica $|h(X)|= |f(X)| |g(X) | \leq M|f(X)| < M \epsilon_1 = \epsilon$ .

Ou seja, dado $\epsilon > 0$ , tomando $\delta = \delta(\epsilon_1)$ conseguimos um $\delta > 0$ tal que se (o lardo esquerdo da implicação é verdeiro o lado direito também o é )

$0 <|| X - X_0|| < \delta \implies |h(X)| < \epsilon$ .

É o que exatamente diz em (*) , (**)

.

Agora com absoluta certeza podemos afirmar que $\lim{X\to X_0} h(x) = 0$ .

Espero que ajude .

Para exemplificar

Seja $h(x_1,\hdots , x_n) = h(X) = \frac{ (\sum_{i=1}^k x_i^2 )(epx(\sum_{i=1}^n x_i ) - 1 )}{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ (onde : k < n

)

Temos que $\lim_{X \to O_{\mathbb{R}^n }} h(X) = 0$ ( onde $O_{\mathbb{R}^n =$ vetor nulo do R^n ) , pois

como k < n

, então $\sum_{i=1}^k x_i^2 \leq \sum_{i=1}^n x_i^2$ e assim

$\frac{ \sum_{i=1}^k x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2} \leq 1 , \forall X \neq O_{\mathbb{R}^n$ . Seja $g(X) = \frac{ \sum_{i=1}^k x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ e $f(X) = exp(\sum_{i=1}^n x_i^2) - 1$ .

Temos que g é limitada (por 1) e o limite de f é zero quando X tende ao vetor nulo , logo o limite de h também é zero .

Mais um exemplo ...

Se $h(X) = (x_1 + \hdots + x_n )^n sin((x_1 + x_2 + \hdots + x_n )^{- e^2 })$ . Temos

$\lim_{X \to O_{\mathbb{R}^n} \ } h(X) = 0$ (Pq ??)

Espero que ajude .

por **braddock** » Seg Mai 05, 2014 22:17

Ajudou muito sim, muito obrigado.

Limite de várias variáveis

Limite de várias variáveis

Limite de várias variáveis

Re: Limite de várias variáveis

Re: Limite de várias variáveis

Quem está online