Encontre o valor de z

por **manuoliveira** » Ter Abr 22, 2014 15:53

(Kreyszig) Ache a solução no plano dos complexos para:
e^z = -2

Resposta: $z = ln(2) + \pi i \pm 2n\pi i$ (n = 0, 1, 2...)

Agradeço desde já quem puder ajudar...

por **e8group** » Qua Abr 23, 2014 11:38

Segue-se

$e^z = -2 = 2 \cdot (-1) = e^{ln(2)} \cdot e^{i( \pi + 2k\pi) } = e^{ln(2) + i(\pi + 2k\pi)}$ , k inteiro qualquer .

E com isso obtemos a resposta desejada .

(Aqui utilizamos que qualquer número real positivo x é escrito como $x = e^{(ln(x))}$ e a fórmula de Euler $e^{bi} = cos(b) - i sin(b)$ , nesta mesma formula , quando cos(b) = -1 , sin(b) = 0