calculo de limites por propriedades

por **RogerEder** » Ter Abr 15, 2014 10:44

estou calculando um limite e não consigo me lembrar como fatorar uma expressão elevada a quinta potência. Essa é a expressão : $\lim_{x\rightarrow-2}\frac{x^5 + 32}{x+2}$
não preciso da resolução do exercício, só lembrar como se faz a fatoração para q eu quebre a cabeça para resolver, até por que é esse meu método de estudo.

agradeço quem poder ajudar.
Abraço!!

por **e8group** » Qua Abr 16, 2014 12:00

Acho mais fácil ao invés de fazer as mesmas contas para fatorar x^2 - a^2 , x^3 - a^3 , x^4 - a^4 , x^5 - a^5 , x^6 - a^6 , ...

e bla bla bla ... é tentar deduzir uma fórmula para x^n - a^n

com n = 2,3,4,5,... .

A primeira expressão é igual a (x-a)(x+a)

, esta fatoração já é conhecida ,entretanto para fins didáticos , dividindo a expressão x^2 - a^2

por

, obteremos o resultado .Qual o método utilizar ?? Um método seria o dá chave .

De forma análoga , para as demais expressões ,divida elas por x - a

. Assim ,

...

Fazendo o mesmo procedimento para x^n - a^n

, observamos que

$x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + \hdots + x^2 a^{n-3} + xa^{n-2} + a^{n-1} ) = (x-a)[ x^{(n-1) -0} \cdot a^{0} + x^{(n-1 )-1} \cdot a^{1] + x^{(n-1 )-2} \cdot a^{2] + \hdots + x^{(n-1 )-(n-2)} \cdot a^{n-2} + x^{(n-1) -(n-1)} \cdot a^{n-1}$ . A princípio , encontramos uma fórmula um pouco difícil de memorizar . Entretanto , a expressão entre colchetes , pode ser escrita sob a forma compacta $\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1 -k} a^{k}$ , e assim obtemos a fórmula

$\boxed{x^n - a^n = (x-a) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1 -k} \cdot a^{k}}$ .

Exemplo :

Para n = 2 ,

$x^2 - a^2 = (x-a) \sum_{k=0}^{2-1} x^{2-1 -k} \cdot a^{k}} = (x-a) \sum_{k=0}^{1} x^{1 -k} \cdot a^{k}} = (x-a)(x^{1-0} a^0 + x^{1-1} a^1) = (x-a)(x+a)$