[Estruturas algébricas] Anéis

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[Estruturas algébricas] Anéis

Mensagempor Crist » Sáb Mar 22, 2014 16:45

Seja A um anel que a²=a, para todo a \in A. Verifique que a=-a, para todo a \in A, e que A é anel comutativo.


Pessoal estou começando esta disciplina agora, tenho pouco material e não consigo nem começar, será que alguém pode me ajudar?
Crist
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Re: [Estruturas algébricas] Anéis

Mensagempor adauto martins » Ter Jan 13, 2015 15:45

seja <A,+.>um anel definido como a\in A,{a}^{2}=a...
logo temos:
-a=({-a})^{2}=(-a).(-a)={a}^{2}=a
dados a,b\in A\Rightarrow a.b={a}^{2}.{b}^{2}=({a.b})^{2}={(b.a)}^{2}={b}^{2}.{a}^{2}=b.a
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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