Calculo de números complexos

por **andersontricordiano** » Seg Mar 17, 2014 14:00

Sendo i a unidade imaginária dos números complexos , qual é o valor da expressão $\frac{(1+i)^{5}}{(1-i)^{3}}$ ?

Resposta: 2
Agradeço quem resolver!

por **ant_dii** » Seg Mar 17, 2014 17:36

Multiplique pelo cubo do conjugado do de baixo, em cima e embaixo na expressão, e tente fazer lembrando que $A^{m}*B^{m}=(A*B)^{m}$ ... Sendo A e B qualquer expressão.
Por fim, você encontrará uma expressão assim $(1+i)^{8}$ que pode ser reescrita como $(1+i)^{2*4}=((1+i)^{2})^{4}$

por **Russman** » Seg Mar 17, 2014 19:40

Sempre que você for resolver um problema de números complexos que envolva multiplicação ou divisão dos mesmos é melhor escrevê-los na forma exponencial.

Lembre-se que dado o complexo z=a+bi

é possível escrevê-lo como $z = r e^{i \alpha}$ , onde $r=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\alpha = \tan^{-1}\left ( \frac{b}{a} \right )$ .

Assim, temos

$(1+i) = (\sqrt{1^2+1^2}) e^{\tan^{-1}\left ( \frac{1}{1} \right )} = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}}$
$(1-i) = (\sqrt{1^2+(-1)^2}) e^{\tan^{-1}\left ( \frac{-1}{1} \right )} = \sqrt{2}e^{\frac{-\pi}{4}}$

e, portanto,

$\frac{(1+i)^5}{(1-i)^3} = \frac{(\sqrt{2})^5 e^{\frac{5\pi}{4}}}{(\sqrt{2})^3 e^{\frac{-3\pi}{4}}} = 2 e^{8\pi/4} = 2 e^{2\pi} = 2$

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