Indução matemática

por **marinalcd** » Dom Fev 23, 2014 16:48

Estou com dúvida nesse exercício .
Por meio de Indução Matemática, mostrar que ${2}^{n-1}\leq n!, \forall n \in$ N.
Provei para n=1.
Na hora de provar para n+1, cheguei em ${2}^{n}\leq (n+1)!$ , mas não consigo sair daí, não consigo concluir o problema.

por **young_jedi** » Dom Fev 23, 2014 18:59

na verdade você já chegou na solução
sua solução foi

$2^m\leq(m+1)!$

m+1=n

portanto

$2^{n-1}\leq n!$

por **marinalcd** » Dom Fev 23, 2014 20:48

Acho que não me expressei bem.
Eu cheguei na solução, mas preciso provar, justificar o
porque de $2^{n-1}\leq n!$ .
E, bom, eu sei que isso é verdade, até porque se atribuirmos quaisquer valores
para n, vemos que a desigualdade é verdadeira, mas não sei escrever isso.
Não estou conseguindo escrever de forma matemática. Pois não posso usar o fato
de atribuir valores como prova.

por **young_jedi** » Dom Fev 23, 2014 22:54

temos que

$2^{2-1}=2!$

podemos dizer então que

$2^{n-1}=n!$

para n=2

a partir dai

$2.2^{n-1}=2.n!$

2^n=2.n!

se $n\geq 1$ então

$2^n\leq (n+1).n!$

$2^{n}\leq (n+1)!$

ou seja para $n\geq 2$
a expressão $2^{n}\leq (n+1)!$ é verdadeira para qualquer n inteiro

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