Estou encarando o Introduction to Logic, do Patrick Suppes (pdf: http://tinyurl.com/oyytpee).
E na página 113 do livro (131 do pdf), 5ª questão, se pede o seguinte:
Com base nos três seguintes axiomas, prove o teorema
:Axioma 1:
Axioma 2:
Axioma 3:
Isto é, dada Associatividade (axioma 1) e os outros 2 axiomas, demonstrar a existência do "elemento identidade à direita". Se não estou cometendo algum erro muito estúpido, esse exercício parece dificílimo. Já passei umas dez horas tentando de tudo: substituições de iguais por iguais; fazer os axiomas 2 e 3 se tornarem
e 
, respectivamente; prova por absurdo. Não parece haver maneira de sair dos 
para um existencial puro 
, que é o que se pede. Infelizmente não dá pra detalhar aqui a tentativa de derivação. O núcleo é:
E pelo Axioma 3:
Nesse ponto não posso quantificar
nem existencialmente, nem universalmente. O subscrito em 
(onde 
é um nome ambíguo derivado de 
, e o subscrito indica a dependência de , que ocorria livre na fórmula original -- além disso, precisa ser diferente de 
, que ocorre antes; regras de 
em Suppes, rs) me impede de simplesmente 
-quantificar sobre e chegar no resultado procurado 
, e daí para . Tampouco parece ajudar qualquer coisa a partir daqui:
E daí brincando com o axioma 1. Não consigo provar que
, e talvez isso ajudaria.Talvez inserir
no meio e fazer alguma coisa ajude. Mas não sei o quê... Preciso de uma fórmula 
, sem subscrito, mas os axiomas parecem incapazes de produzi-la. Estou especialmente frustrado, porque esse parece ser um passo chave para usar todo o poder dos axiomas. Sigo pensando...
da fórmula. E feito!
Q. E. D. 