[Cálculo] Integral

por **Pessoa Estranha** » Sáb Jan 11, 2014 17:35

Olá, pessoal!

Por que a minha resolução do seguinte exercício está errada?

$\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx$

Pelo Teorema da Mudança de Variável, temos:

$u = tg(x) \rightarrow du = \frac{1}{{cos}^{2}x} dx$

Daí,

$\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx = \int_{}^{}tg(x)\frac{1}{{cos}^{2}(x)}dx = \int_{}^{} (u) du = \frac{{u}^{2}}{2} + k = \frac{{tg}^{2}(x)}{2} + k$

Obrigada!

por **anderson_wallace** » Sáb Jan 11, 2014 22:34

Sua resolução, assim como sua resposta final estão corretas!

Por que vc acha que está errada?

por **Pessoa Estranha** » Sáb Jan 11, 2014 23:31

Então, é que no livro a resposta é outra. Daí, para confirmar, eu usei o "wolframalpha", mas deu a mesma resposta que a do livro.

Obrigada por responder!

por **anderson_wallace** » Dom Jan 12, 2014 13:30

É muito comum acontecer isso quando resolvemos integrais porque geralmente para a integral de uma mesma função há várias formas de resolver. Cada modo de resolver chega numa função equivalente, mas que em muitas vezes não são expressas da mesma forma.
Nesse caso específico além da substituição simples vc poderia simplificar e usar uma fórmula de recorrência.
Lembrando que integração e derivação são processos inversos, um dos melhores modos de conferir se sua resposta está certa é deriva-la.

$\frac{d}{dx}{(\frac{{tg}^{2}x}{2}+k)}=\frac{1}{2}2tg(x)(\frac{d}{dx}tg(x))=tg(x){sec}^{2}(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}\frac{1}{{cos}^{2}(x)}=\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}$

De fato, sua resposta está certa.

por **Pessoa Estranha** » Dom Jan 12, 2014 13:44

Está bem! Muito Obrigada pela ajuda! :y:

por **Guilherme Pimentel** » Seg Jan 13, 2014 06:04

Pessoa Estranha escreveu:Olá, pessoal!

Por que a minha resolução do seguinte exercício está errada?

$\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx$

Pelo Teorema da Mudança de Variável, temos:

$u = tg(x) \rightarrow du = \frac{1}{{cos}^{2}x} dx$

Daí,

$\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx = \int_{}^{}tg(x)\frac{1}{{cos}^{2}(x)}dx = \int_{}^{} (u) du = \frac{{u}^{2}}{2} + k = \frac{{tg}^{2}(x)}{2} + k$

Obrigada!

Note que:

$tg^{2}(x) + 1= sec^2(x)$

e sua resposta se transforma na do WA. (corrigido)

por **Pessoa Estranha** » Ter Jan 14, 2014 09:20

$1+{sec}^{2}x = 1+\frac{1}{{cos}^{2}x} = \frac{{cos}^{2}x + 1}{{cos}^{2}x} = \frac{2{cos}^{2}x + {sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{{2-{sen}^{2}x}^{}}{{cos}^{2}x}$

Desculpe, mas não consegui chegar no procurado.

Obrigada por responder!

por **Pessoa Estranha** » Ter Jan 14, 2014 09:24

${tg}^{2}x = \frac{{sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{1-{cos}^{2}x}{{cos}^{2}x} = {sec}^{2}x - 1$

Olha, se eu não errei nas manipulações, o certo não é assim?

por **Man Utd** » Ter Jan 14, 2014 21:49

Pessoa Estranha escreveu: ${tg}^{2}x = \frac{{sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{1-{cos}^{2}x}{{cos}^{2}x} = {sec}^{2}x - 1$

Olha, se eu não errei nas manipulações, o certo não é assim?

Vc está certa.