[Trinômio] Desenvolvimento

por **silviopuc** » Dom Dez 29, 2013 00:55

Preciso de ajuda para o exercício a seguir. Não soube trabalhar com um trinômio...

A soma dos coeficientes do desenvolvimento de ${\left(2x+y-3z \right)}^{10}$ é necessariamente:

a) um número maior que ${2}^{10}$
b) um número entre ${2}^{5}$ e ${2}^{10}$
c) igual a 1
d) igual a zero
e) um número negativo.

por **e8group** » Dom Dez 29, 2013 16:36

Começamos com a soma de dois números reais x,y

.Esta soma a uma potência $n \in \mathbb{N}$ se escreve como $\sum_{ k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k$ (Teorema Binomial ) e igualdade x=y = 1

nos dá a soma dos coeficientes acima $(1+1)^n = 2^n =\sum_{ k=0}^n \binom{n}{k}$ . E quando temos

números reais $x_1,\hdots , x_m$ ,o teorema multinomial nos garanti uma forma de expandir $( \sum_{k=1}^m x_k)^n$ como se vê lá ...

Mas como o objetivo é obter a soma dos coeficientes de $(x_1 + \hdots + x_m)^n$ na sua forma expandida . Fazendo todos x_i

iguais a

, teremos $(\sum_{k=1}^m 1)^n = m^n$ que és a soma requerida .

Justificativa :

Segue-se que

$(x_1 + \hdots + x_m)^n$ se escreve sob a soma das parcelas que se exprimem por $\lambda_i x_1^{k_1} \cdot x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m} = \lambda_i \prod_{j=1}^m x_j^{k_j}$ ; $k_j \in \{0,1,2,\hdots,m\}$ ,esta afirmação é assegurada pelo teorema multinomial , ou então notando a fórmula de recorrência :

$I_m^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x_m^{m-k} \cdot I_{m-1}^k$ .Em que a notação I_p

designa a soma dos primeiros

termos da lista $x_1,x_2,\hdots , x_m$ ,i.e., $I_p = x_1+\hdots + x_p$ .

E assim concluindo ,quando fizermos todos os x_i

iguais

teremos a soma dos coeficientes $\lambda_i$ .

Agora tente concluir.

por **silviopuc** » Seg Dez 30, 2013 15:28

Santhiago eu não consegui avançar, pois eu não entendi. Porém, quero entender tudo o que você explicitou, peço que me corrija quando eu falhar e me ajude a avançar (por favor). O teorema binomial eu entendi. Sei que a soma dos coeficientes de um binômio $\left(a + b \right)^n$ é dada por ${2}^{n}$ (isso é bem observado no triângulo de Pascal, certo?). Mas o teorema multinomial eu não compreendi. Procurei alguma informação na internet, mas não consegui entender.

por **e8group** » Seg Dez 30, 2013 18:28

Olá ,só quis deixar claro que é possível expandir (x_1 + ... + x_m)^n (*)

pelo teorema multinomial .Mas isto não importa ,só queremos a soma dos coeficiente de (*)

na sua forma expandida .

Vamos supor que não conhecemos o teorema binomial e multinomial e queremos determinar a soma dos coeficientes de (x_1+x_2) ^n

e $(x_1+x_2 + \hdots + x_m)^n$ nas suas formas expandida . Segue ,

$(x_1 + x_2)^n = x_1(x_1+x_2)^{n-1} + x_2 (x_1 + x_2)^{n-1} = x_1^2(x_1 + x_2)^{n-2} + x_1x_2(x_1 + x_2)^{n-2} + x_2x_1(x_1+x_2)^{n-2} +x_2^2 (x_1+x_2)^{n-2} + = \hdots$

E fazendo o mesmo processo acima sucessivas vezes esperamos que

se exprima como $\sum_k \lambda_k x_1^{q_k^1} x_2^{q_k^2}$ com $q_k^1 , q_k^2 = 0,1,2,\hdots , n$ e $\lambda_k$ números reais . Quando fizemos x_1 = x_2 = 1

teremos a soma dos coeficientes $(1+1)^n = \sum_k \lambda_k$ .

silviopuc escreveu: teorema binomial eu entendi. Sei que a soma dos coeficientes de um binômio é dada por (isso é bem observado no triângulo de Pascal, certo?)

Você estar certo .

Continuando ....

E forma análoga , podemos esperar que $(x_1 + \hdots + x_m)^n$ se escreva como

$\sum_k \lambda_k x_1^{q_k^1} x_2^{q_k^2} \cdots x_m^{q_k^m}$ ( q_k^j = 0,1,2,...,n

) e novamente se fizermos $x_1 =x_2 = \hdots = x_m = 1$ teremos a soma dos coeficientes que és

(1+1+1 + ...+1)^n = m^n

. No se exercício tente identificar o termo geral da soma . Tente concluir .

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