Dúvidas!!

por **Isa123** » Dom Dez 29, 2013 10:29

Olá, Sou dos Açores em Portugal e estou a realizar um trabalho para entregar, mas estou com dúvidas!
Por favor podem me ajudar?
Os exercicios são esses:

Imagem

Por favor me ajudem!! :y:

por **e8group** » Dom Dez 29, 2013 17:05

Bem vinda ao Fórum .Por favor leia as regras, é permitido uma questão por tópico e além disso anexe imagens somente se for estritamente necessário . Lá vai uma dica p/ a primeira questão ....

O teorema binomial nos garante que

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k = \binom{n}{0}a^n +\binom{n}{1}a^{n -1}b + \hdots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$ .

(a,b números reais quaisquer e n natural)

Pode-se notar que o i-ésimo termo do desenvolvimento acima é $\binom{n}{i-1}a^{n+1-i}b^{i-1}$ .

Trocando

por

e

por

e utilizando a informação dada poderá determinar

.Tente concluir.

por **Isa123** » Dom Dez 29, 2013 21:07

Peço desculpa desde já! Vou já retificar.
Tenho muitas dificuldades em Matemática e não estou a entender *-)

por **e8group** » Dom Dez 29, 2013 22:13

Boa noite . O teorema binomial , aquele mencionado acima será usado agora para desenvolver $\left(2x - \frac{1}{4x}\right) ^n$ . Se tomarmos a = 2x

e $b = - \frac{1}{4x}$ teremos que $(a+b)^n = \binom{n}{0} a^{n} + \binom{n}{1} a^{n-1} b + \hdots + \binom{n}{n} b^n$ .Em que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

De acordo com esta soma verificamos que o segundo termo da esquerda p/ direita é :

$\binom{n}{1} a^{n-1} b = \frac{n!}{1!(n-1)!} a^{n-1} b = n a^{n-1} b = n(2x)^{n-1} \cdot \left(-\frac{1}{4x}\right) = -\frac{n2^{n-1}}{4} \frac{x^{n-1}}{x} = \boxed{- n \cdot 2^{n-3} \cdot x^{n-2} }$ .A expressão destacada deve ser igual aquela dada pelo exercício . Tente concluir.

por **Isa123** » Seg Dez 30, 2013 10:47

Deve tar me a chamar de burra... mas estou com uma branca e estou confundindo tudo *-)

por **e8group** » Seg Dez 30, 2013 11:40

Não se preocupe,pode ser falta de prática . O que temos é

$-n \cdot 2^{n-3} x^{n-2} = - 48x^4$ . Uma possível solução natural para

seria a do sistema abaixo

$\begin{cases} -n \cdot 2^{n-3} = -48 \\ n-2 = 4 \end{cases}$ caso o mesmo tenha solução .E ele tem , de fato dá segunda equação temos $n -2 = 4 \iff \boxed{n = 6}$ e substituindo isto na primeira eq. ,resulta

$-6 \cdot 2^{6-3} = - 6\cdot 2^{3} = -6\cdot 8 = -48$ OK! .

OBS.: Dois polinômios são iguais quando todos os coeficientes dos monômios(1,x,x^2,...) de grau correspondente são iguais . O que quero dizer é :

Sendo $p(x) = a_0 + a_1 x + \hdots + a_n x^n$ e $q(x) = b_0 + b_1 x + \hdots + b_n x^n$ ,temos p =q