[Logaritmos] Dúvida

por **fff** » Sáb Dez 21, 2013 11:40

Boa tarde

Tenho dúvidas neste exercício do exame nacional de matemática do 12º ano época especial 2013.
Imagem

A resposta é a B, mas não percebo porquê.

por **e8group** » Sáb Dez 21, 2013 14:32

Boa tarde .Note que $x \in S$ se e somente se a propriedade $ln(e^{-x} +a) \leq 0$ é verdadeira ,pelo que exp(x) =e^x

é estritamente crescente (a>b implica exp(a) > exp(b) ) e esta função é a inversa do

teremos

$exp(ln(e^{-x} +a )) \leq exp(0) \iff e^{-x} +a \leq 1$ .

Agora tente isolar

.

Comentário : Considere S , S'

dois subconjuntos dos números reais que possuem respectivamente a propriedade P(x)

e

,isto é , $S =\{x\in \mathbb{R} ; P(x) \} , S '=\{x\in \mathbb{R} ; Q(x) \}$ .

Se a propriedade Q e P são equivalentes (não no sentido de P = Q ,mas sentido de P ser verdadeira implica Q verdadeira e o mesmo com respeito o recíproco ) então S = S'

.

Exemplo : Se P(x)

é a propriedade e^x > 4

e

:

então

. Outra forma de escrever $S' =\{x \in \mathbb{R} ; x > ln(4) \}$ és como o intervalo aberto

$(ln(4) , +\infty )$

por **fff** » Sáb Dez 21, 2013 16:10

santhiago escreveu:Boa tarde .Note que $x \in S$ se e somente se a propriedade $ln(e^{-x} +a) \leq 0$ é verdadeira ,pelo que é estritamente crescente (a>b implica exp(a) > exp(b) ) e esta função é a inversa do teremos

$exp(ln(e^{-x} +a )) \leq exp(0) \iff e^{-x} +a \leq 1$ .

Agora tente isolar .

Eu comecei por fazer assim: $ln({e}^{-x}-a)\leq0\\ {e}^{-x}-a\leq{e}^{0}\Leftrightarrow{e}^{-x}\leq1+a$
Depois isolei o x:
$-x\leq ln(1+a)\Leftrightarrow x\geq -ln(1+a)$

Se deu $x\geq -ln(1+a)$ , era suposto ser a opção D. Mas temos que calcular o domínio também.
Por isso eu fiz assim (pode estar mal):
${e}^{-x}-a>0 \Leftrightarrow {e}^{-x}>a \Leftrightarrow -x>ln a \Leftrightarrow x< -lna$

Então concluí que $-ln(1+a)\leq x<-lna$ , por isso só pode ser a opção B.
Achas que o meu raciocínio está bem?