[Matrix do operador]

por **Tathiclau** » Sáb Dez 14, 2013 14:37

Determine a matriz do operador de derivação D: $Pn \rightarrow Pn$ relativamente a base {1,t,t²,..., ${t}^{n}$ }.

por **e8group** » Sáb Dez 14, 2013 17:01

Comece notando que qualquer polinômio de grau menor ou igual a

é escrito como combinação linear dos n+1

monômios $1 ,t, \hdots , t^n$ . Denotando $p_i(t) = t^i , i=0,\hdots ,n$ . Aplicando o operador de derivação ,segue

$D(p_i) = i \cdot t^{i-1} = \sum_{k=0}^n \alpha_k t^k$ ,onde $\alpha_{i-1} = i$ e os demais escalares todos iguais a zero , desde que i > 0

. E se

todos escalares $\alpha_k$ são iguais a zero .

Tente concluir .

por **Tathiclau** » Sáb Dez 14, 2013 17:32

santhiago escreveu:Comece notando que qualquer polinômio de grau menor ou igual a é escrito como combinação linear dos monômios $1 ,t, \hdots , t^n$ . Denotando $p_i(t) = t^i , i=0,\hdots ,n$ . Aplicando o operador de derivação ,segue

$D(p_i) = i \cdot t^{i-1} = \sum_{k=0}^n \alpha_k t^k$ ,onde $\alpha_{i-1} = i$ e os demais escalares todos iguais a zero , desde que . E se todos escalares $\alpha_k$ são iguais a zero .

Tente concluir .

Eu entendi o que vc fez mas a matriz do operador na base que ele deu eu não sei achar.

por **e8group** » Sáb Dez 14, 2013 18:57

Talvez a forma compacta de escrever a soma não te ajudou , expandimos ela então . Conforme já introduzido p_k(t) =t^k

e $D(p_k) = k \cdot t^{k-1}$ .Escrevendo D(p_k)

como combinação linear dos p_k's ,teremos

$D(p_0 (t)) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot t + \hdots + 0 \cdot t^n$

$D(p_1(t)) = 1\cdot 1 + 0 \cdot t + \hdots + 0 \cdot t^n$
(...)

$D(p_{n-1} (t)) = 0 \cdot 1 + \hdots +0 \cdot t^{n-3}+ (n-1) \cdot t^{n-2} + 0 \cdot t^{n-1} + 0 \cdot t^{n}$

$D(p_{n}) (t) = 0 \cdot 1 + \hdots + 0 \cdot t^{n-2} + n \cdot t^{n-1} + 0 \cdot t^n$ .

Agora tente avançar .