[Derivada] Reta tangente

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[Derivada] Reta tangente

Mensagempor Tatu+bola » Sex Nov 29, 2013 09:06

Determine ao menos uma reta tangente ao gráfico de y=x^4 e
paralela a reta r:x+y=4.

Como acho a equação da reta paralela ?
Quais são os pontos a utilizar ?

Valeu !
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Re: [Derivada] Reta tangente

Mensagempor Bravim » Sex Nov 29, 2013 21:02

Neste caso o melhor jeito é parametrizar em função de t(ou de x mesmo).
Aqui temos y=x^4
\begin, x &= t \\ y &= t^4\\ z &= 0 \end
e aqui temosy+x=4
\begin, x &= t \\ y &= 4-t\\ z &= 0 \end
Agora é só derivar as curvas em função de t e encontrar a condição de igualdade que será que os vetores diretores devem ser proporcionais. Neste caso,
4t^3=-1
t=-\frac{1}{{2}^{\frac{2}{3}}}
Agora é só substituir na equação geral da reta :)
y = -x-\frac{3}{{2}^{\frac{8}{3}}}}
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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