Taxas Relacionadas - Questão

por **Taka** » Sáb Nov 02, 2013 21:39

Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10000 cm/min. Ao mesmo tempo, água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6m de altura e o diâmetro do topo é de 4m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura da água for 2m, encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque.

Alguem da uma luz, pois sei como resolver se não tivesse tanto cano tirando e colocando água =D

por **e8group** » Dom Nov 03, 2013 00:05

Posso estar errado . Mas , acredito que o volume V(t)

de água no tanque , é a soma do volume inicial V_0

com o volume que entra tanque , V_e(t)

, menos o volume que sai do tanque V_s (t)

. Isto é ,

V(t) = V_0 + V_e(t) - V_s(t) (*)

.

Em um tanque cônico de diâmetro 2 R

e altura

, teremos que o volume de água no tanque $V(t) = \pi r^2(t) \cdot h(t)$ ou de forma equivalente , $\frac{\pi R^2}{H^2} h^3(t) (**)$ em que h(t)

é a altura da água avaliada no instante

.Esta última expressão foi obtida por semelhança de triângulos retângulos que fornece $\frac{H}{h(t)} = \frac{R}{r(t)}$ .

Substituindo (**)

em

e derivando com relação a

, segue

$V'(t) = \frac{3\pi R^2}{H^2} h^2 (t) \cdot h'(t) = V_e' (t) - V_s' (t)$ .

Daí ,

$V_e' (t) = \frac{3\pi R^2}{H^2} h^2 (t) \cdot h'(t) + V_s' (t)$ é taxa segundo a qual a água estar sendo bombeada p/ dentro do tanque .

Basta substituir os valores dados e fazer conta .

por **Taka** » Dom Nov 03, 2013 08:09

Muito obrigado, agora sim eu consigo

por **e8group** » Dom Nov 03, 2013 12:09

De nada .Agora que notei o erro , calculei o volume como o tanque considerando o cilíndrico sendo na verdade o mesmo cônico ,então seu volume será 1/3

da expressão V(t)

.

Se puder refazer as contas e verificar se a resposta está de acordo com o gabarito .

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