[Probabilidade Condicionada e Independência] help me, please

por **marcosmuscul** » Qua Out 23, 2013 19:53

são duas questões do livro "Probabilidade Aplicações à Estatística de Paul Meyer" cujas minhas respostas diferiram do gabarito. analisei o gabarito porém não compreendi o porque da minha resposta estar errada.
mas vou postar só uma questão.

questão 3.34. A seguinte (de algum modo simplória) previsão de tempo é empregada
por um amador. O tempo, diariamente, é classificado como "seco" ou "úmido ", e
supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior
seja uma constante p (O < p < 1). Com base em registros passados, admite-se que
1 de janeiro tenha probabilidade {B de ser dia "seco". Fazendo { ${B}_{n}$ = probabilida-
de (de que o n-ésimo dia do ano seja "seco"), pede-se obter uma expressão para
${B}_{n}$ em termos de B de p. Calcule também $\lim_{n -> \infty}{B}_{n}$ interprete o seu resulta-
do [Sugestão: Exprima ${B}_{n}$ termos de ${B}_{n - 1}$ ']

minha resolução:

${B}_{n} = {B}_{n - 1} . p + \left(1 - {B}_{n - 1} \right) . B = B + {B}_{n - 1} . \left(p - B \right)$
Mas
${B}_{n - 1} = {B}_{n - 2} . p + \left(1 - {B}_{n - 2} \right) . B = B + {B}_{n - 2} . \left(p - B \right)$
Assim, Por enquanto:
${B}_{n} = B + B . \left(p - B \right) + {B}_{n - 2} . {\left(p - B\right)}^{2}$
fazendo isso com ${B}_{n - 3}, {B}_{n - 4}, .... , {B}_{n - (n -1)}$ , cheguei a seguite expressão:
${B}_{n} = \sum_{1}^{n}B . {(p - B)}^{n - 1}$

Porém no gabarito está assim:
${B}_{n} = 0,5 + {(2p - 1)}^{n} . \left(B - 0,5 \right)$

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