limite - dúvida

por **Danilo** » Sáb Out 12, 2013 19:57

Resolver $\lim_{x\rightarrow0+}{(1+sen4x)}^{cotgx}$

Substituindo 0 no limite eu não chego ao resultado, pois cotg 0 não existe... não tenho a menor idéia de como resolver este... Alguma idéia? Grato desde já...

por **young_jedi** » Sáb Out 12, 2013 23:32

temos que

$cotg(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

$=\frac{2\cos(x)\cos(x)}{2\cos(x)\sin(x)}$

$=\frac{2\cos^2(x)}{\sin(2x)}$

$=\frac{4\cos^2(x)\cos(2x)}{2\cos(2x)\sin(2x)}$

$=\frac{4\cos^2(x)\cos(2x)}{\sin(4x)}$

portanto o limite fica

$\lim_{x\to0}(1+\sin(4x))^{\frac{4\cos^2(x)\cos(2x)}{\sin(4x)}}$

$\lim_{x\to0}\left((1+\sin(4x))^{\frac{1}{\sin(4x)}}\right)^{4\cos^2(x)\cos(2x)}$

se fizermos uma substituição de $u=\sin(4x)$
teremos que quando x tende a 0 u tambem tende a zero portanto

$\lim_{u\to0}\left((1+u)^{\frac{1}{u}}\right)^{4\cos^2(x)\cos(2x)}$

mais este é o limite do numero de euler portanto

$\lim_{u\to0}\left((1+u)^{\frac{1}{u}}\right)^{4\cos^2(x)\cos(2x)}=e^{4.1^2.1}=e^4$

por **Danilo** » Sáb Out 12, 2013 23:48

Valeu cara, muito obrigado!

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