[Integral]

por **dehcalegari** » Qua Out 02, 2013 18:49

Calcular

$\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}$

Separei em 2 integrais

$\int_{0}^{2}\frac{dx}{x-2}+\int_{2}^{3}\frac{dx}{x-2}$

Aplicando os Limites nas 2, e através do Principio de Calculo, chego a

$\lim_{2}ln|l-2|-ln|-2| + \lim_{2}ln|1| - ln|k-2| = -\infty - (+\infty) + 0 -( -\infty)$

= $-\infty$

Ou seja, diverge... Está correta a resolução?

por **Man Utd** » Qui Out 03, 2013 10:14

dehcalegari escreveu:Calcular

$\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}$

Separei em 2 integrais

$\int_{0}^{2}\frac{dx}{x-2}+\int_{2}^{3}\frac{dx}{x-2}$

Aplicando os Limites nas 2, e através do Principio de Calculo, chego a

$\lim_{2}ln|l-2|-ln|-2| + \lim_{2}ln|1| - ln|k-2| = -\infty - (+\infty) + 0 -( -\infty)$

= $-\infty$

Ou seja, diverge... Está correta a resolução?

A integral diverge,mas a solução não está correta.

$\\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{p\rightarrow 2^{-}}\int_{0}^{p}\frac{dx}{x-2}+\lim_{p\rightarrow 2^{+}}\int_{p}^{3}\frac{dx}{x-2} \\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{p\rightarrow 2^{-}}ln|p-2|-ln|0-2|+\lim_{p\rightarrow 2^{+}}ln|3-2|-ln|p-2| \\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{p\rightarrow 2^{-}}ln|p-2|-ln|-2|-\lim_{p\rightarrow 2^{+}}ln|p-2| \\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=-\infty-(-\infty) \\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=-\infty+\infty$

então a integral diverge.

att

por **dehcalegari** » Qui Out 03, 2013 11:08

Soh me perco na hora de definir os limites de ln. O resto fiz igual.

Ln 2 eh igual a quanto?

por **Man Utd** » Qui Out 03, 2013 18:08

não importa quanto vale ln2,já que temos que ln|p-2| vai para -infinito ,então:

$-\infty-ln|-2|=-\infty$

por **Man Utd** » Dom Jun 08, 2014 23:18

Olá

Msm a resposta sendo que a integral diverge, ainda sim não foi apresentada de maneira adequada, para mostrar que diverge devemos fazer:

$\\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{a \rightarrow 2^{-}}\int_{0}^{a}\frac{dx}{x-2}+\lim_{b \rightarrow 2^{+}}\int_{b}^{3}\frac{dx}{x-2} \\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{ a \rightarrow 2^{-}}ln|a-2|-ln|0-2|+\lim_{b\rightarrow 2^{+}}ln|3-2|-ln|b-2| \\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{a \rightarrow 2^{-}}ln|a-2|-ln|-2|-\lim_{b\rightarrow 2^{+}}ln|b-2|$

Veja que do jeito que está se calcularmos os dois limites teremos uma indeterminação do tipo : $-\infty+\infty$ , então fazemos o seguinte :

$\\\\\\ \int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{(a,b) \to (2^{-},2^{+}) } \; \ ln|a-2|-\ln|-2|-\ln|b-2|$

$\int_{0}^{3}\frac{dx}{x-2}=\lim_{(u,v) \to (0^{-},0^{+}) } \; \ ln|u|-\ln|-2|-\ln|v|$

Vamos usar a regra dos caminhos para mostrar que esse limite de uma funçao de duas variavéis não tem limite.

aproximando por (v,v) :

$\\\\ \lim_{v \rightarrow 0^{+} } \; \ ln|v|-\ln|-2|-\ln|v| = -\ln|2|$ , esse resultado é conhecido como Valor Principal de Cauchy.

agora aproximando por : (v^2,v) :

$\\\\ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \ ln|v^2|-\ln|-2|-\ln|v| \;\;\; \\\\\\\\ \lim_{ v \to 0^{+} } \; \ln|v|-\ln|2|=-\infty$

O que caracteriza que o limite não existe.Então a integral imprópria diverge.

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