Como separar equação diferencial ordinária.

por **Sobreira** » Qui Set 26, 2013 09:06

Tenho dificuldade em reconhecer quando uma E.D.O é separável ou não. Sei que ela deve se apresentar desta forma:

$\frac{dy}{dx}=h\left(x \right)g\left(y \right)$

Mas não tenho total certeza sobre como tentar separar uma E.D.O corretamente.
Por exemplo, as equações a seguir eu resolvi por fator integrante mas acho que consigo separar. Consigo ou não ??

${x}^{2}\frac{dy}{dx}+x\left(x+2 \right)y={e}^{x}$

$L\frac{di}{dt}+Ri=E$

Onde L, R, E

são constantes.

Já nesta equação qual a diferença, em relação a separação, das formas abaixo:

$x\frac{dy}{dx}-Ln xy=0$

$x\frac{dy}{dx}-Ln (xy)=0$

por **young_jedi** » Qui Set 26, 2013 14:19

esta primeira não da para separar

$x^2\frac{dy}{dx}+x(x+2)y=e^x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{e^x-x(x+2)y}{x^2}$

veja que não da para separar em uma função de y vezes uma função de x

a segunda da para separar

$L\frac{di}{dt}+R.i=E$

$\frac{di}{dt}=\frac{E-R.i}{L}$

onde h(t)=1

e

a terceira equação imagino que seja

$x\frac{dy}{dx}-ln(x).y=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{ln(x)}{x}.y$

então $h(x)=\frac{ln(x)}{x}$ e g(y)=y

ja esta ultima tambem não da para seprar

$x\frac{dy}{dx}-ln(xy)=0$

$x\frac{dy}{dx}-ln(x)-ln(y)=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{ln(x)+ln(y)}{x}$

por **Sobreira** » Sáb Set 28, 2013 09:25

young_jedi escreveu:esta primeira não da para separar

$x^2\frac{dy}{dx}+x(x+2)y=e^x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{e^x-x(x+2)y}{x^2}$

veja que não da para separar em uma função de y vezes uma função de x

Então...aí que está.
Eu não consigo entender como é possível verificar se as funções irão se apresentar como produto ou não.
Pelo que eu entendi não pode haver soma entre

e

???

Neste termo eles estão digamos amarrados??? mas e se eu expandir não vou ter a separação???

-x(x+2)y

Por exemplo:

${x}^{2}y-2xy$

E daí eu poderia separar ???

por **young_jedi** » Sáb Set 28, 2013 11:44

este termo você consegue seperar

x(x+2)y

o problema é que também temos uma exponencial de x

e^x-x(x+2)y

por isso você não consegue separar

realmente você não pode ter uma soma entre x e y por exemplo

$\frac{dy}{dx}=x+y$

essa função você também não consegue separar

por **Sobreira** » Sáb Set 28, 2013 12:46

Este meu desenvolvimento estaria correto ???

${x}^{2}\frac{dy}{dx}+{x}^{2}y+2xy={e}^{x}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{{e}^{x}-{x}^{2}y-2xy}{{x}^{2}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-\frac{{x}^{2}y}{{x}^{2}}-\frac{2xy}{{x}^{2}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}-\frac{y}{{x}^{2}}-\frac{2y}{x}$

A partir dái, sinceramente já não consigo mais separar.