relação entre x e y

por **Apotema** » Qua Nov 18, 2009 19:57

Sejam a e b consonstantes reais positivas. Considere x=a²tg t+1 e y²=b² sec² t-b² em que 0<t<pi/2 Então uma relação entre x e y é?
Tomei esse caminho, mas não conclui:
$x={a}^{2}tg t+1 \Rightarrow tg t=\frac{x-1}{{a}^{2}} \Rightarrow {y}^{2}={b}^{2}{sec}^{2}t-{b}^{2} \Rightarrow {sec}^{2}t=\frac{{y}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}}$ $\Rightarrow sec t=\frac{y}{b}$
substituindo em tg e em sec:
$tg=sen . sec \Rightarrow\frac{x-1}{{a}^{2}}=sen.\frac{y}{b}$
daí não sei o que fazer com sen, ou se ele nem deveria estar ali.

por **thadeu** » Qua Nov 18, 2009 20:18

Você se esqueceu de uma coisinha de nada... sec^2x-1=tg^2x

Na segunda equação, temos:

y^2=b^2sec^2t-b^2

colocando

em evidência:

$y^2=b^2(sec^2t-1)\Rightarrow\,y^2=b^2tg^2t\,\Rightarrow\^, \frac{y^2}{b^2=tg^2t}$

Elevando a primeira equação ao quadrado:

$(tgt)^2=(\frac{x-1}{a^2})^2\,\Rightarrow\,tg^2t=\frac{(x-1)^2}{a^4}$

igualando as duas:

$\frac{y^2}{b^2}=\frac{(x-1)^2}{a^4}\,\Rightarrow\,\sqrt{\frac{y^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{(x-1)^2}{a^4}}\,\Rightarrow\,\frac{y}{b}=\frac{x-1}{a^2} \Rightarrow y=\frac{b(x-1)}{a^2}$

por **Apotema** » Qui Nov 19, 2009 20:41

Sim, mas o enunciado quer uma relação entre x e y, vou colocar algumas alternativas q tenho aqui:
$a)y=\frac{b}{a}{(x-1)}^{2},\geqa$
$b)y=\frac{{b}^{2}}{a}{(x-1)}^{2},x\geq1$
$c)y=\frac{b}{{a}^{2}}(x-1),\forall\forallx\in\Re$
$d)y=-\frac{b}{{a}^{2}}(x-1),x\geq1$
$e)y=\frac{{a}^{2}}{b}(x-1),x\leq1$
Seria o item c) ou estou fazendo uma leitura errada?
Desde já obrigada pela ajuda.

thadeu escreveu:Você se esqueceu de uma coisinha de nada...
Na segunda equação, temos:

colocando em evidência:

$y^2=b^2(sec^2t-1)\Rightarrow\,y^2=b^2tg^2t\,\Rightarrow\^, \frac{y^2}{b^2=tg^2t}$

Elevando a primeira equação ao quadrado:

$(tgt)^2=(\frac{x-1}{a^2})^2\,\Rightarrow\,tg^2t=\frac{(x-1)^2}{a^4}$

igualando as duas:

$\frac{y^2}{b^2}=\frac{(x-1)^2}{a^4}\,\Rightarrow\,\sqrt{\frac{y^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{(x-1)^2}{a^4}}\,\Rightarrow\,\frac{y}{b}=\frac{x-1}{a^2} \Rightarrow y=\frac{b(x-1)}{a^2}$

por **thadeu** » Qui Nov 19, 2009 21:56

Eu reparei que na hora da digitação ocorreu um erro:

$\frac{y^2}{b^2}=tg^2t$ e não $\frac{y^2}{b^2=tg^2t}$

Com relação à resposta, é o item C

$\frac{b(x-1)}{a^2}=\frac{b}{a^2}(x-1)$

Desculpe o erro...

por **Apotema** » Seg Nov 23, 2009 08:12

thadeu escreveu:Eu reparei que na hora da digitação ocorreu um erro:

$\frac{y^2}{b^2}=tg^2t$ e não $\frac{y^2}{b^2=tg^2t}$

Com relação à resposta, é o item C

$\frac{b(x-1)}{a^2}=\frac{b}{a^2}(x-1)$

Desculpe o erro...

Não é erro, é engano, sem contar que na transcrição para o editor de fórmulas é trabalhoso. Obrigada.