números inteiros

por **thadeu** » Qui Nov 19, 2009 11:41

Quantos são os números inteiros p tais que 50^3<5^p<50^4

?

por **Molina** » Qui Nov 19, 2009 13:14

thadeu escreveu:Quantos são os números inteiros p tais que ?

Boa tarde. Vamos tentar resolver isso usando logaritimo na base 10:

50^3<5^p<50^4

3*[log5 + log10]<p*log5<4*[log5 + log10]

(A = log5)

$3+\frac{3}{A}<p<4+\frac{4}{A}$

Temos que $3+\frac{3}{A}<8$ e $4+\frac{4}{A}>9$

Logo p pode ser 8 ou 9. Dois números inteiros.

:y:

por **thadeu** » Qui Nov 19, 2009 13:46

Beleza Molina!
Eu só não consegui entender as duas últimas linhas.
Esses exercícios são de uma lista que me passaram e eu achei interessante colocar no site para que possamos ver diferentes maneiras de resolução.

Eu resolvi essa questão da seguinte maneira:
Fazendo $50=(2 \times 5^2)$

$(2 \times 5^2)^3<5^p<(2 \times 5^2)^4$

$2^3 \times 5^6<5^p<2^4 \times 5^8$

Dividindo todos por 5^6

$\frac{2^3 \times 5^6}{5^6}<\frac{5^p}{5^6}<\frac{2^4 \times 5^8}{5^6}$

$8<5^{p-6}<400$

Entre 8 e 400 as seguintes potências de base 5:

$5^1=5\,,\,\,5^2=25\,,\,\,5^3=125\,,\,\,5^4=625$

Repare que apenas $5^2\,\,\,e\,\,\,5^3$ estão entre 8 e 400.

$5^{p-6}=5^2\,\Rightarrow\,p-6=2\,\Rightarrow\,p=8$

$5^{p-6}=5^3\,\Rightarrow\,p-6=3\,\Rightarrow\,p=9$

Resposta igual a 2.

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