[Equação Cúbica]Calcular x^3 + y^3 = 9xy pela equação cúbica

por **jricardo** » Sáb Ago 17, 2013 01:13

Olá, estou estudando o livro Cálculo de George Thomas, edição 11°. Na página 205 deste livro, consegui entender o exemplo referente ao fólio de Descartes por meio da derivada implícita, porém, no final deste exemplo é apresentado uma outra forma de resolver o problema em questão, porém com o uso de uma fórmula para as três raízes de uma equação cúbica parecida com a fórmula quadrática ${y}^{2} + {x}^{2}=2xy$ , que neste caso sería ${x}^{3} + {y}^{3}=9xy$ .

Neste exemplo é apresentado como resultado as seguintes equações:

$y = f(x) = \sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}+\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}$

e

$y = \frac{1}{2}\left[-f(x)+\sqrt[2]{-3} \left(\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}-\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}} \right) \right]$

ou

$y = \frac{1}{2}\left[-f(x)-\sqrt[2]{-3} \left(\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}-\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}} \right) \right]$

A dúvida é, como chegar a este resultado, pois o máximo que consegui foi:

$y = f(x) = \sqrt[3]{9xy - {x}^{3}}$

Alguém pode me ajudar.

Desde já, deixo o meu agradecimento.

[Equação Cúbica]Calcular x^3 + y^3 = 9xy pela equação cúbica

[Equação Cúbica]Calcular x^3 + y^3 = 9xy pela equação cúbica

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