[Equação Cúbica]Calcular x^3 + y^3 = 9xy pela equação cúbica

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[Equação Cúbica]Calcular x^3 + y^3 = 9xy pela equação cúbica

Mensagempor jricardo » Sáb Ago 17, 2013 01:13

Olá, estou estudando o livro Cálculo de George Thomas, edição 11°. Na página 205 deste livro, consegui entender o exemplo referente ao fólio de Descartes por meio da derivada implícita, porém, no final deste exemplo é apresentado uma outra forma de resolver o problema em questão, porém com o uso de uma fórmula para as três raízes de uma equação cúbica parecida com a fórmula quadrática {y}^{2} + {x}^{2}=2xy, que neste caso sería {x}^{3} + {y}^{3}=9xy.

Neste exemplo é apresentado como resultado as seguintes equações:

y = f(x) = \sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}+\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}

e

y = \frac{1}{2}\left[-f(x)+\sqrt[2]{-3} \left(\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}-\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}} \right) \right]

ou

y = \frac{1}{2}\left[-f(x)-\sqrt[2]{-3} \left(\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}-\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}} \right) \right]

A dúvida é, como chegar a este resultado, pois o máximo que consegui foi:

y = f(x) = \sqrt[3]{9xy - {x}^{3}}

Alguém pode me ajudar.

Desde já, deixo o meu agradecimento.
jricardo
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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