Álgebra

por **marinalcd** » Ter Ago 13, 2013 21:14

Estou começando a estudar esse assunto e estou com dificuldade para resolver esta questão. Alguém pode me ajudar?

Seja os subconjuntos:

$A_{0}\,=\,\{\,4k\,|\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,\} , A_{1}\,=\,\{\,4k\,+\,1\,|\,k\,\in\, \mathbb{Z}\,\}, A_{2}\,=\,\{\,4k\,+\,2\,|\,k\,\in\, \mathbb{Z}\,\}, A_{3}\,=\,\{\,4k\,+\,3\,|\,k\,\in\, \mathbb{Z}\,\}.$

Mostre que os conjuntos $A_{0}\,,\, A_{1}\,,\, A_{2}\,,\, A_{3}$ formam uma partição de $\mathbb{Z}.$

Obrigada!

por **amandasousa_m** » Qui Ago 15, 2013 08:47

Números inteiros formam o conjunto de números positivos ou negativos não decimais, certo?

Portanto, se k é um número inteiro, ele satisfaz esta condição. Se você multiplica ou soma qualquer número natural a um inteiro, o produto ou a soma tem de estar dentro do conjunto dos inteiros.

É nesse sentido.

por **marinalcd** » Qui Ago 15, 2013 12:55

Oi!
Olha só, o seu raciocínio está certo, eu também pensei assim, o problema é que eu tenho que mostrar isso, desenvolver. A dificuldade está em estabelecer uma prova para este conceito. Mas mesmo assim, obrigada pela ajuda!

por **amandasousa_m** » Qui Ago 15, 2013 20:17

Pensei nisso logo que respondi haha

Para que todos esses conjuntos sejam partições eles devem ser disjuntos (a interseção entre eles tem que ser igual a zero), a união entre os quatro conjuntos tem que ser igual a zero e nenhum deles devem ser vazios.

Acho que atruibuindo valores aleatórios ou mesmo um embasamento genérico pode demonstrar que os subconjuntos satisfazem as condições.

por **MateusL** » Sex Ago 16, 2013 12:56

Se $A_0,\ A_1,\ A_2,\ A_3$ são uma partição de $\mathbb{Z}$ , então todos esses conjuntos são dois a dois disjuntos, a união de todos eles é igual a $\mathbb{Z}$ e nenhum desses conjuntos é vazio.

Então tens que provar que todo número inteiro pertencerá a um e somente um desses quatro conjuntos e que nenhum desses conjuntos é vazio.