[Geometria Analítica] Dependência Linear.

por **Pessoa Estranha** » Ter Ago 13, 2013 19:51

Olá. Gostaria que alguém resolvesse este exercício, pois tentei de diversas maneiras e várias vezes, mas não consegui resolvê-lo. Obrigada.

Questão: Determine m e n tais que (u,v) (sequência dos vetores u e v) seja linearmente dependente (LD), sendo u = (1, m, n+1) e v = (m, n, 10).

Tentei usar a Proposição que envolve determinantes, combinação linear, proporção, equação tal que a solução não seja a trivial, mas nada resolveu.

por **Russman** » Ter Ago 13, 2013 22:30

O vetor u tem de ser LD de v, é isso?

por **Pessoa Estranha** » Qua Ago 14, 2013 17:38

Na verdade é que a sequência de vetores u e v seja LD, ou seja, o conjunto formado por estes dois vetores é LD. Por exemplo: se uma sequência de vetores é LD, então estes vetores são paralelos, ou podemos dizer que há uma combinação linear entre eles, etc. Agora, se uma sequência de vetores é LI, então estes vetores não são paralelos, ou então podemos pensar que não há uma combinação entres eles, etc.

Acho que, de certa forma, o que você disse está correto, mas o que eu entendo por (u, v) LD é o que escrevi acima.

por **Russman** » Qua Ago 14, 2013 20:46

Sim, eu entendo o que significa um conjunto LI e LD. Só achei, de imediato, estranho o conjunto ter só dois elementos. Mas, sendo assim, deve existir um n° real $\alpha$ tal que

$\alpha u = v$

Isto é

$\alpha = m$
$\alpha m = n$
$\alpha (n+1) = 10$ .

Da primeira linha podemos reescrever as duas outras como

m^2 = n

de onde, substituindo a 1° na segunda,

m^3 + m -10 = 0

.

A única solução real desta equação é m=2

, de modo que n = 4

e $\alpha = 2$ . Sendo assim,

u = (1,2,5)

e

.

Bem verdade que 2(1,2,5) = (2,4,10)

.

Certo?

por **Pessoa Estranha** » Qua Ago 14, 2013 21:53

Olá. A resposta é essa mesmo! Muito bom! Mas, como você conseguiu resolver a equação do terceiro grau?! Nossa, estou pasma! Tentei diversas vezes e nada funcionou. Muito obrigada!

por **Russman** » Qua Ago 14, 2013 22:25

Bom, analisando a equação eu percebi que m=2

era solução. Aí, reduzi a equação para uma de 2° grau e está nao tem soluções reais. Logo, a única solução real é m=2

mesmo.

por **Pessoa Estranha** » Qui Ago 15, 2013 16:03

Para reduzir a equação ao segundo grau, você colocou o m em evidência?

${m}^{3}+m-10 = m ({m}^{2}+1 -\frac{10}{m})$

ou, então

${m}^{3}+m=10 \rightarrow m({m}^{2}+1)=10$