Crescimento de uma população de rãs com integral.

por **Matheus Lacombe O** » Dom Ago 04, 2013 18:26

Olá! tentei resolver a questão 6.3.70 (HOWARD Anton, Calculo- 8º edição, p.373) mas minhas respostas sempre dão fracionárias (como pode 0,37 rã??) e eu não consegui o gabarito desta questão que é par.

- A seguinte questão diz que um certo lago possui uma quantidade de rãs em um ano e quer saber a quantidade de rãs em 't' anos depois, com base em um modelo matemático de crescimento, sendo que o livro só da a derivada desse modelo de crescimento.

Enunciado na integra:

http://uploaddeimagens.com.br/imagens/enunciado-png

$\frac{d}{dt}\left[p(t)\right]={(3+0,12t)}^{\frac{3}{2}}$

$\int_{}^{}\frac{d}{dt}\left[p(t)\right]dt=\int_{}^{}{(3+0,12t)}^{\frac{3}{2}}dt$

$p(t)=\int_{}^{}{(3+0,12t)}^{\frac{3}{2}}dt$

u=3+0,12t

$dt=\frac{du}{0,12}$

$dt=\frac{du}{\frac{3}{25}}=\frac{25du}{3}$

$p(t)=\frac{25}{3}\int_{}^{}{u}^{\frac{3}{2}}du$

$p(t)=\frac{25}{3}.\frac{{u}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+C$

$p(t)=\frac{25}{3}.\frac{2}{5}\frac{{u}^{\frac{5}{2}}}{1}+C$

$p(t)=\frac{10}{3}.\frac{{u}^{\frac{5}{2}}}{1}+C$

$p(t)=\frac{10}{3}.{(3+0,12t)}^{\frac{5}{2}}+C$

de 2005 a 2010 - 5 anos. t=5

$p(5)=\frac{10}{3}.{(3+0,12.5)}^{\frac{5}{2}}+C$

$p(5)=\frac{10}{3}.{\left(3+\frac{3}{25}.5\right)}^{\frac{5}{2}}+C$

$p(5)=\frac{10}{3}.{\left(3+\frac{3}{5}\right)}^{\frac{5}{2}}+C$

$p(5)=\frac{10}{3}.{\left(\frac{18}{5}\right)}^{\frac{5}{2}}+C$

$p(5)=\frac{10}{3}.\sqrt[]{{\left(\frac{18}{5}\right)}^{5}}+C$

$p(5)=\frac{10}{3}.\sqrt[]{{\left(\frac{18}{5}\right)}^{2}.{\left(\frac{18}{5}\right)}^{2}.\left(\frac{18}{5}\right)}+C$

$p(5)=\frac{10}{3}.\frac{18}{5}.\frac{18}{5}\sqrt[]{\frac{18}{5}}+C$

$p(5)=\frac{2}{1}.\frac{6}{1}.\frac{18}{5}\sqrt[]{\frac{18}{5}}+C$

$p(5)=\frac{216}{5}.\frac{\sqrt[]{18}}{\sqrt[]{5}}+C$

$p(5)=\frac{216}{5}.\frac{3\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{5}}+C$

$p(5)=\frac{648\sqrt[]{2}}{5\sqrt[]{5}}+C$

- Bom.. Sabendo que no ponto '0', ou seja, no ano '0', que é o ano de 2005, há 100.000 rãs..

$p(0)=\frac{10}{3}.{\left(3+\frac{3}{25}.0\right)}^{\frac{5}{2}}+C$

$100000=\frac{10}{3}.{\left(3\right)}^{\frac{5}{2}}+C$

$100000=\frac{10}{3}.\sqrt[]{{3}^{5}}+C$

$100000=\frac{10}{3}.\sqrt[]{{3}^{2}.{3}^{2}.3}+C$

$100000=\frac{10}{3}.3.3\sqrt[]{3}+C$

$100000=10.3\sqrt[]{3}+C$

$100000=30\sqrt[]{3}+C$

$C=100000-30\sqrt[]{3}$

- logo:

$p(5)=\frac{648\sqrt[]{2}}{5\sqrt[]{5}}+100000-30\sqrt[]{3}$

- E agora???? Essa não pode ser a resposta, pode?