Progressão Aritmética.

por **replay** » Qui Ago 01, 2013 11:55

(UECE) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) uma progressão aritmética. Se a2+a5=8 e a8=7, então a3+a7 é igual a:
a) 8
b) 28/3
c) 10
d) 32/3

Não consigo desenvolver um raciocínio para resolver este problema.

por **Pessoa Estranha** » Sex Ago 02, 2013 15:26

Olá. Segue o meu raciocínio. Espero que entenda.

Como trata-se de uma progressão aritmética, sabemos que estamos trabalhando em função do primeiro termo (a1) e da razão (podemos chamar de "r"). Observe que o segundo termo, por exemplo, nada mais é do que o primeiro termo somado com a razão. Agora, note que podemos pensar assim também: o terceiro termo, por exemplo, corresponde à soma do primeiro termo com duas vezes a razão (a3 = a1 + 2r) ou à soma do segundo termo com a razão (a3 = a2 + r). E este raciocínio segue sucessivamente. Bem, o enunciado do problema diz que trata-se de uma progressão aritmética e nos traz duas informações importantes: a2 + a5 = 8 e a8 = 7. Assim, note que podemos fazer o seguinte:

$a2 + a5 = 8 \rightarrow a1 + r + a1 + 4r = 8 \rightarrow 2(a1) + 5r = 8 \rightarrow 2(a1) = 8 - 5r \rightarrow a1 = \frac{8-5r}{2}$

$a8=7\rightarrow a1+7r=7\rightarrow a1=7-7r$

Daí, podemos igualar as duas expressões encontradas. Veja:

$7-7r= \frac{8-5r}{2}$

Então:

$14-14r=8-5r\rightarrow 14-8=-5r+14r\rightarrow 6=9r\rightarrow r=\frac{6}{9}=\frac{2.3}{3.3}=\frac{2}{3}$

Daí, como temos o valor da razão, podemos encontrar o valor do primeiro termo:

$a1 = \frac{8-5r}{2}\rightarrow a1=\frac{8-\frac{10}{3}}{2}=\frac{\frac{24}{3}}{2}=\frac{24}{6}=4$

Assim:

$a3+a7=a1+2r+a1+6r=2(a1)+8r=2(4)+8(\frac{2}{3})= \frac{24+16}{3}=\frac{30}{3}= 10$

Alternativa C.

Tem o gabarito? Se tiver mande uma resposta dizendo se está correto.
Espero ter ajudado.

por **DanielFerreira** » Sáb Ago 03, 2013 08:11

Pessoa, encontrei um lapso na sua resolução! Dê uma olhada na parte que destaquei:

Pessoa Estranha escreveu:Olá. Segue o meu raciocínio. Espero que entenda.

Como trata-se de uma progressão aritmética, sabemos que estamos trabalhando em função do primeiro termo (a1) e da razão (podemos chamar de "r"). Observe que o segundo termo, por exemplo, nada mais é do que o primeiro termo somado com a razão. Agora, note que podemos pensar assim também: o terceiro termo, por exemplo, corresponde à soma do primeiro termo com duas vezes a razão (a3 = a1 + 2r) ou à soma do segundo termo com a razão (a3 = a2 + r). E este raciocínio segue sucessivamente. Bem, o enunciado do problema diz que trata-se de uma progressão aritmética e nos traz duas informações importantes: a2 + a5 = 8 e a8 = 7. Assim, note que podemos fazer o seguinte:

$a2 + a5 = 8 \rightarrow a1 + r + a1 + 4r = 8 \rightarrow 2(a1) + 5r = 8 \rightarrow 2(a1) = 8 - 5r \rightarrow a1 = \frac{8-5r}{2}$

$a8=7\rightarrow a1+7r=7\rightarrow a1=7-7r$

Daí, podemos igualar as duas expressões encontradas. Veja:

$7-7r= \frac{8-5r}{2}$

Então:

$14-14r=8-5r\rightarrow 14-8=-5r+14r\rightarrow 6=9r\rightarrow r=\frac{6}{9}=\frac{2.3}{3.3}=\frac{2}{3}$

Daí, como temos o valor da razão, podemos encontrar o valor do primeiro termo:

$a1 = \frac{8-5r}{2}\rightarrow \boxed{a1=\frac{8-\frac{10}{3}}{2}=\frac{\frac{24}{3}}{2}}=\frac{24}{6}=4$

Assim:

$a3+a7=a1+2r+a1+6r=2(a1)+8r=2(4)+8(\frac{2}{3})= \frac{24+16}{3}=\frac{30}{3}= 10$

Alternativa C.

Tem o gabarito? Se tiver mande uma resposta dizendo se está correto.
Espero ter ajudado.

por **Pessoa Estranha** » Sáb Ago 03, 2013 11:12

Você tem razão. Peço desculpas pelo meu erro grave.

O correto é:

$a1=\frac{\frac{14}{3}}{2}=\frac{14}{6}=\frac{2.7}{2.3}=\frac{7}{3}$

$a3 + a7 = a1+2r+a1+6r = 2(a1)+8r = \frac{14}{3}+\frac{16}{3}= \frac{14+16}{3}=\frac{30}{3}=10$ .

Desculpe.

por **replay** » Sáb Ago 03, 2013 22:54

Valeu, essa é mesmo a resposta, agora entendi a resolução.

Resposta C: 10

por **DanielFerreira** » Sáb Nov 02, 2013 09:13

Pessoa Estranha escreveu:Você tem razão. Peço desculpas pelo meu erro grave.

O correto é:

$a1=\frac{\frac{14}{3}}{2}=\frac{14}{6}=\frac{2.7}{2.3}=\frac{7}{3}$

$a3 + a7 = a1+2r+a1+6r = 2(a1)+8r = \frac{14}{3}+\frac{16}{3}= \frac{14+16}{3}=\frac{30}{3}=10$ .

Desculpe.