DETERMINAR VETORES | v + 2u + 3w|

por **sasuyanli** » Seg Jul 29, 2013 14:55

Olá, gostaria de pedir uma ajuda neste exercício de VGA:
Dados v, u e w vetores unitários tais que o ângulo entre quaisquer dois deles é 45º, determine || v + 2u + 3w ||.

por **Russman** » Seg Jul 29, 2013 21:48

$(u + 2v + 3w) \cdot (u + 2v + 3w) = | (u + 2v + 3w) | ^2 \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$u \cdot u + 2(u \cdot v ) + 3 (u \cdot w) + 2 ( v \cdot u) + 4 (v \cdot v) + 6 (v \cdot w) + 3 ( w \cdot u) + 6( w \cdot v) + 9 (w \cdot w) = | (u + 2v + 3w) | ^2 \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Como todos os vetores são unitários e o ângulo entre quaisquer dois deles é 45º, então

$u \cdot v = u \cdot w = w \cdot v = \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$u \cdot u = v \cdot v = w \cdot w = 1$

e, portanto,

$1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2}} + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}} + 4 + 6 \frac{\sqrt{2}}{2}} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2}} + 6 \frac{\sqrt{2}}{2}} + 9 = | (u + 2v + 3w) | ^2 \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$14 + 11 \sqrt{2} = | (u + 2v + 3w) | ^2 \frac{\sqrt{2}}{2}}$

donde

$| (u + 2v + 3w) | = \sqrt{\frac{14+11 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Agora é só racionalizar e tudo mais. Se eu não errei nenhuma aritmética é isso. Mas se sim, o processo é esse mesmo e basta reproduzir.

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