Convexidade

por **temujin** » Dom Jul 21, 2013 21:48

Boa noite, galera.

Preciso de uma ajuda:

Mostre que a função f(x,y)=x^2-2xy+y^2

é estritamente convexa.

Eu tentei pela matriz hessiana:

$H_f= \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Mas ela é semidefinida positiva, então não posso dizer que é estritamente convexa...Alguma idéia??

por **MateusL** » Seg Jul 22, 2013 00:29

Cara, eu realmente não domino essa parte, mas pesquisando aqui vi que esta função realmente não é estritamente convexa, mas apenas convexa.

É só ver que podemos reescrever a função como f(x,y)=(x-y)^2

.

Então, a função só irá variar se variarmos o valor de x-y

, mas é possível variar o valor de x+y

sem variar x-y

.

Desculpe minha falta de termos melhores, mas realmente não domino esta parte, então minha explicação não está, vamos dizer assim, muito formal. :-D

Abraço!

por **Russman** » Seg Jul 22, 2013 00:40

O determinante da matriz hessiana é nulo. Você leu o que significa isso ?

por **temujin** » Seg Jul 22, 2013 02:27

MateusL,

Essa é a mesma conclusão que eu havia chegado. Tô achando que é por aí mesmo.

Russman,

Pelo livro que eu estou usando (Simon&Blume, Matemática p/Economistas), se o determinante é nulo, mas o traço é positivo, a forma quadrática é não negativa (semidefinida positiva), portanto convexa (mas não estritamente). Não seria isto???