CALCULO

por **Victor Gabriel** » Qua Jul 17, 2013 12:17

Pessoal tem como alguém mim ajudar com esta questão.

Questão: Encontre a maior e a menor distância de um ponto situado sobre a elipse $\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$ à reta x+y-4=0

por **Russman** » Qua Jul 17, 2013 19:27

A grandeza de interesse a ser minimizada ou maximizada é a distância entre as curvas. Assim, o primeiro passo é determiná-la em função dos parâmetros das mesmas.

A distância entre dois pontos (x_1,y_1)

e

é dada por

$d = \sqrt{\left (x_2 - x_1 \right )^2 + \left ( y_2 - y_1 \right )^2}$ .

Como um dos pontos deve pertencer a elipse e o outro a reta, então podemos relacionar as coordenadas, escolhendo, por exemplo, o subíndice 1 para a reta e 2 para a elipse, da seguinte forma

$\left\{\begin{matrix} x_2+y_2-4=0 \\ \frac{x^2_2}{4} + y_2^2 = 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_1 = 4- x_1 \\ y_2 = \sqrt{1 - \left ( \frac{x_2^2}{4} \right )} \end{matrix}\right.$

de modo que

$d = \sqrt{\left (x_2 - x_1 \right )^2 + \left ( \sqrt{1 - \left ( \frac{x_2^2}{4} \right )} - 4+ x_1 \right )^2}$

Agora não sei se o ponto sobre a elipse é um qualquer, um específico(não parece ser pelo enunciado) ou se é o par de pontos que minimizam ou maximizam a função distância não localmente mas globalmente. Se sim, então temos uma função de duas variáveis e as respectivas derivadas parciais de cada variável serão nulas nos pontos de máximo e mínimo.

Uma outra alternativa seria considerar que a distância entre as curvas deveria ser uma reta PERPENDICULAR a reta dada. Isto simplificaria bastante as coisas. Veja que, nesse caso, a distância entre um ponto (x,y)

qualquer pertencente a elipse e a reta de equação ax+by+c=0

é dada por

$d= \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\left | ax+by+c \right |$

e dada reta, então

$d= \frac{1}{\sqrt{2}}\left | x+y-4 \right |$ .

Como o ponto deve pertencer a elipse, temos a relação $y = \sqrt{1 - \left ( \frac{x^2}{4} \right )}$ e, portanto,

$d= \frac{1}{\sqrt{2}}\left | x+ \sqrt{1 - \left ( \frac{x^2}{4} \right )}-4 \right |$ .

Agora temos a distância entre as curvas em função da coordenada

que, como varia de

a

e ,nesse intervalo, o valor que está dentro do módulo é negativo podemos nos livrar dele colocando um sinal menos na frente da função.

$d(x)= -\frac{1}{\sqrt{2}} \left (x+ \sqrt{1 - \left ( \frac{x^2}{4} \right )}-4 \right )$

ou

$d(x)= -\frac{1}{\sqrt{2}} \left (x+ \frac{1}{2}\sqrt{4 -x^2}-4 \right )$ .

Agora para extremá-la temos de calcular qual valor de

que zera a derivada primeira.

CALCULO

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