[Limites] exercicio de limites tendendo a zero

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[Limites] exercicio de limites tendendo a zero

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[Limites] exercicio de limites tendendo a zero

Mensagempor lucasdemirand » Qui Jul 11, 2013 18:00

Olá pessoal, segue uma duvida em calculo, de limites.
quem puder ajudar ficarei grato, :)
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[]{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}
lucasdemirand
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Re: [Limites] exercicio de limites tendendo a zero

Mensagempor e8group » Sex Jul 12, 2013 11:43

Por simplicidade de contas ,considere a substituição

w = \sqrt{x+1} .Tendo em conta que w\to 1 quando x\to 0 o limite dado pode ser reescrito como ,

\lim_{w\to 1} \frac{w-1}{w^{2/3} - 1} .

Observando que w = (w^{1/3} )^3 e fazendo p = w^{1/3} o último limite obtido é equivalente a ,

\lim_{p\to 1} \frac{p^3-1}{p^2 - 1} . Agora tente concluir .
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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