preciso de ajuda para resolver um exercicio sobre matrizes

[anabela]

o exercicio diz q a matriz M = a b(elementos na 1ª linha) e c d (elementos da 2 linha) ,calcule tdas as matrizes para M elevedo a 2 seja igual á matriz identidade?

como resolver??

pensei em atribuir valores a a,b,c,d e depois fazia o produto mas nao dá a matriz identidade ,será q me podem dar uma dica?

[Elcioschin]

Matriz M:

a .... b
c .... d

Matriz M² ---> Basta multiplicar M por M:

a²+bc .... ab+bd
ac+cd .... d²+bc

A matriz identidade é:

1 ..... 1
1 ..... 1

Basta agora igualar termo a termo e vc obterá 4 equações.
Resolvendo as 4 equações vc obterá b = 0, c = 0, d = - a
Depois coloque b, c, d em função de a.

Vc obterá 3 matrizes que atendem, uma delas em função de a.

Tente

[anabela]

Olá
Obrigada pela ajuda

mas tentei fazer o exercicio dessa forma mas fico com uma duvida a matriz identidade é aquela 1.......0
0........1

portanto ao multiplicar mxm obtenho depois um sistema do qual n consigo oter valores

mais uma vez vou tentar pôr aqui o exercicio para ver se alguém me dá outras dicas

é assim:

III. Determine todas as matrizes M =

a b
c d
!
com a; b; c e d pertencente R, tais que M elevado a 2(ao quadrado) seja =à matriz identidade ou seja
1.....0

0......1

[Elcioschin]

Anabela

1) Primeiramente peço desculpas pela minha digitação errada da matriz identidade

Eu digitei:

1 .... 1
1 .... 1

E o correto é:

1 .... 0
0 .... 1

2) As equações decorrentes da comparação com a matriz M² são dadas por:

A matriz M² é:

a²+bc .... ab+bd
ac+cd .... d²+bc

As equações correspondentes são:

a² + bc = 1 ----> Equação I
d² + bc = 1 ----> Equação II
ab + bd = 0 ----> Equação III
ac + cd = 0 ----> Equação IV

3) Tudo isto eu indiquei para você, e até dei as soluções b = 0, c = 0, d = - a.

Eu imaginava que, a partir daí, seria fácil para você, já que a solução das equações é muito simples (matéria do Ensino Fundamental). Pelo visto, parece que você nem tentou continuar. Vou então terminar:

III ----> ab + bd = 0 ----> b*(a + d) = 0 ----> Ou b = 0 ou a + d = 0 ---> d = - a

IV ----> ac + cd = 0 ----> c*(a + d) = 0 ----> Ou c = 0 ou a + d = 0 ---> d = - a


Para b = 0, c = 0 :

I ----> a² + bc = 1 ----> a² + 0*0 = 1 ----> a² = 1 -----> a = 1 ou a = -1

II ----> d² + bc = 1 ----> d² + 0*0 = 1 ----> d² = 1 -----> d = 1 ou d = -1

Assim já podemos formar DUAS matrizes M:

1 ..... 0
0 ..... 1

-1 .... 0
0 .... -1

Finalmente a terceira e última matriz M (em função de a, b)

Para d = - a:

I ----> a² + bc = 1 -----> bc = 1 - a² ----> c = (1 - a²)/b

....a ............. b
(1 - a²)/b ...... -a

Note que esta última matriz é válida para quaisquer valores a, b diferentes dos anteriores.

Por exemplo para a = 2, b = - 1, teremos a seguinte matriz M:
2 ....... -1
3 ....... -2

[anabela]

Olá mto obrigada pela ajuda
NA 1ª fase tentei resolver o sistema mas estava a igualar as equações tdas a zero e nao estava a chegar a nenhuma conclusao,só depois é q vi q a mtriz identidade era aquela em q os elementos da diagonal principal eram iguais a 1 e os restantes iguais a zero.Com a sua ajuda percebi o exercicio mto obrigada.

Anabela

[Nelito]

Eu peço desculpa por me estar aqui a intrometer, mas apesar de ter percebido mais ou menos o exercicio, e porque há muitos anos que já não estudava matemática, fiquei com a duvida de como é que eu apresentava exactamente a resposta a este exercicio. Estou muito enferrujado e tenho um exercicio parecido com este para resolver, mas parece-me sempre que falta qualquer coisa. Por exemplo basta-me colocar que a matriz = ás funções? Depois basta-me enunciar as funções e de seguida resolvê-las uma a uma? Para o professor é suficiente?
Por ultimo será possivel explicar-me melhor a ultima parte em que d=-a?
Eu peço desculpa por estas perguntas tão básicas, mas são de alguém que já não estudava matemática à umas dezenas de anos e resolveu agora retomar a sua formação. Eu estou-me esforçando por chegar lá, mas não está a ser nada fácil visto não ter aulas presenciais.

Ficaria muito agradecido pela gentileza e paciência.

Obrigado

[Elcioschin]

Nelito

Respondendo as suas dúvidas:

1) Por exemplo basta-me colocar que a matriz M² = ás funções?

Na realidade eu não igualei a matriz M² com as funções.
O que eu igualei foi "cada termo Aij da matriz M² com cada termo Aij da matriz Identidade"

2) Isto leva a um sistema de equações, o qual, resolvido, conduz às soluções possíveis.

3) Para qualquer professor é suficiente: é um perfeito método algébrico ( sem "chutes" ou advinhações)

4) Veja uma das equações ---> b*(a - d) = 0

Como no 1º membro temos uma multiplicação de dois fatores (b) e (a - d), temos duas soluções possíveis:

I) b = 0
II) a - d = 0 ----> Esta solução leva a -----> d = -a

Precisamos agora dos valores de b e c ---->Não há jeito de calculá-los, isto é eles são indeterminados.

Faz-se então o seguinte: Partimos de um valor qualquer b e calculamos o valor de c em função de b:

a² + bc = 1 ----> bc = 1 - a² ----> c = (1 - a²)/b

Temos agora um valor de d em função de a e um valor de c em função de b. Basta montar a matriz M:

a ........ b
1-a² .... -a

[Nelito]

Agora entendi.

Muito obrigado pela paciência.

Isto tem de ser mesmo com muita prática.

Será que me pode ajudar com o outro tópico que eu criei?

Ficaria muito agradecido

Obrigado