[módulo do número complexo]

por **JKS** » Qui Jun 20, 2013 01:56

não consegui entender o gabrito .. se alguém puder me ajuda eu agradeço

Calcule o módulo do número complexo

gabarito = cosx

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 19:49

Primeiro de tudo tens que eliminar a unidade imaginária do denominador:

$\dfrac{1}{1+i\tan x}=\dfrac{1}{1+i\tan x}\cdot \dfrac{1-i\tan x}{1-i\tan x}=\dfrac{1-i\tan x}{1^2+\tan^2 x}$

Agora tens que notar que:

$1^2+\tan^2 x=1+\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Então:

$\dfrac{1}{1+i\tan x}=\dfrac{1-i\tan x}{1^2+\tan^2 x}=\cos^2 x-i\cdot \cos^2x\cdot \tan x=\cos^2 x-i\cos^2 x\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}$

$\dfrac{1}{1+i\tan x}=\cos^2 x-i\cos x\sin x$

Então o módulo será:

$\left |\dfrac{1}{1+i\tan x}\right|=\sqrt{(\cos^2 x)^2+(-\cos x\cdot \sin x)^2}=\sqrt{\cos^4 x+\cos^2 x\cdot \sin^2 x}$

$\left |\dfrac{1}{1+i\tan x}\right|=\sqrt{\cos^2 x(\cos^2 x+\sin^2 x)}=\sqrt{\cos^2 x}=|\cos x|$

Abraço!

[módulo do número complexo]

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