[Geometria Analitica] Equação de reta

por **LucasSG** » Qui Jun 06, 2013 22:45

Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano pi, e perpendicular a reta AB. São dados pi: 2x-y+3z-1=0, A=(1,0,1), B=(0,1,2), s: X=(4,5,0)+a(3,6,1)

Não consigo resolver esse exercício, eu sei de algumas coisas:

Se r é paralela ao plano pi, ela é ortogonal ao vetor (2,-1,3), que é o vetor normal ao plano pi. Logo o produto escalar de r com (2,-1,3) sendo r o vetor diretor de r tem que ser nulo.
Se r é perpendicular a reta AB, então r.(-1,1,1)=0 (o produto escalar do vetor diretor da reta r com o vetor AB tem que ser nulo.)
Mas se eu escrevo a reta r na forma: X=(a,b,c)+y(m,n,p), eu tenho 7 incognitas nessa equação, e mesmo resolvendo os sistemas anteriores ainda me sobrariam varias, não sei bem como posso usar as informações de que r é concorrente com r e perpendicular a reta AB. (Eu acredito que tenho que encontrar os pontos onde as retas se interceptam, mas não sei como isso vai me ajudar, já que eu adicionaria varios parametros das outras retas ao sistema).

Por favor, podem me ajudar a prosseguir com a resolução?

Obrigado.

por **e8group** » Sáb Jun 08, 2013 22:15

Seguindo seu raciocínio , seja $r : X = (a,b,c) + \gamma (m,n,p)$ .
Se $r\perp l : X = A + \lambda \overrightarrow{AB}\implies \exists! P_0=(x_0,y_0,z_0) \in r,s (1)$ e $\overrightarrow{AB} \perp \vec{d_r}=(m,n,p) \implies \vec{d_r} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 (2)$ .

Se $r \parallel \pi \implies \vec{d_r} \perp \overrightarrow{N_{\pi}} = (2,-1,3) \implies \vec{d_r} \cdot \overrightarrow{N_{\pi}} = 0 (3)$ . Por (2),(3)