Sistemas lineares

por **Amanda185** » Ter Jun 04, 2013 23:34

(UECE) Para r ? 2, se x = p e y = q é a solução do sistema linear $f(x)=\left[rx + 2y = 1 \right] \left[2x + ry = 1 \right]$ , então o valor de p² + q² é:

Fiz o determinante das matrizes e cheguei até: r² - 4, mas como o r não pode ser 2 não sei o que fazer...

por **DanielFerreira** » Qua Jun 05, 2013 01:27

Amanda,
a questão parece-me interessante, no entanto, antes de respondê-la gostaria de saber se ela está completa. Têm as alternativas??

por **Amanda185** » Qua Jun 05, 2013 14:37

Sim. As alternativas são:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4

por **DanielFerreira** » Qua Jun 05, 2013 22:59

Como disse anteriormente, temos aqui uma questão bem interessante! Concluí que a alternativa correta é a letra c.

$\\ \begin{cases} rx + 2y = 1 \;\;\;\; \times (- r \\ 2x + ry = 1 \;\;\;\; \times (2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} - r^2x - 2ry = - r \\ 4x + 2ry = 2 \end{cases} \\ ------------ \\ - r^2x + 4x - 2ry + 2ry = - r + 2 \\ - r^2x + 4x = - r + 2 \\ x(- r^2 + 4) = - r + 2 \\ x(r + 2)(- r + 2) = - r + 2 \\\\ x = \frac{(- r + 2)}{(r + 2)(- r + 2)} \\\\ x = \frac{\cancel{(- r + 2)}}{(r + 2)\cancel{(- r + 2)}} \\\\ \boxed{x = \frac{1}{r + 2}}$

Encontramos o 'valor' de

substituindo

por $\frac{1}{r + 2}$ em uma das equações acima.

$\\ rx + 2y = 1 \\\\ r \cdot \frac{1}{2 + r} + 2y = 1 \\\\ r + 2y(2 + r) = 1(2 + r) \\ \cancel{r} + 4y + 2ry = 2 + \cancel{r} \\ 2y(2 + r) = 2 \\ y(2 + r) = 1 \\\\ \boxed{y = \frac{1}{2 + r}}$

Observe que x = y

, então, $\boxed{p = q}$ ; por conseguinte $\boxed{p^2 = q^2}$ !

Daí, nada mais podemos concluir!!

No entanto, fiz umas buscas na "net" e notei que o seu enunciado está diferente, se comparado ao original.

Segue,