INEQUAÇÕES-QUOCIENTE

por **Lenin** » Qui Mai 30, 2013 21:17

Pessoal, não lembro como resolver essas inequações do tipo:

1. $\frac{1}{X-4} < \frac{2}{X+3}$

2. $\frac{x+1}{X+2} < \frac{3+3}{X+4}$

sei que é algo besta, mas não lembro como fazer...alguém poderia me ajudar?

por **Rafael16** » Qui Mai 30, 2013 22:31

Olá Lenin!

$\frac{1}{x-4} < \frac{2}{x+3}$

$\frac{1}{x-4} - \frac{2}{x+3}< 0$

Aqui tem que tirar o mmc de expressões algébricas, caso não saiba, da uma pesquisada.

$\frac{(x+3)-2(x-4)}{(x-4)(x+3)} < 0$

$\frac{-x+11}{x^2-x-12} < 0$

Chegamos em uma inequação quociente.

Vamos chamar o numerador de f(x) e denominador de g(x). Depois achar as raízes de cada função e fazer o estudo de sinais, que é o que faremos agora:

$f(x)=-x + 11 \Rightarrow 0 = -x + 11 \Rightarrow x=11$
f(x) é uma função decrescente, ou seja, para valores de x acima de 11, a função vai ser negativa, e para valores de x abaixo de 11, positiva.

Vamos agora achar a raiz da função g(x) e fazer o estudo de sinais:
$g(x)=x^2 - x - 12 \Rightarrow 0 = x^2 - x - 12 \Rightarrow x' = -3$ e x''=4

são as raízes.
g(x) é uma função com concavidade para cima, então para valores de x menor que -3, a função é positiva. Para valores de x maior que 4, a função também é positiva. E para valores de x entre -3 e 4, a função é negativa.

Depois é só fazer o jogo de sinais.

: JogoDeSinais.png (3.28 KiB) Exibido 5627 vezes

Essa é a solução
Qualquer dúvida comenta ai.
E tente fazer a 2.

por **Lenin** » Qui Mai 30, 2013 23:05

Rafael16 escreveu:Olá Lenin!

$\frac{1}{x-4} < \frac{2}{x+3}$

$\frac{1}{x-4} - \frac{2}{x+3}< 0$

Aqui tem que tirar o mmc de expressões algébricas, caso não saiba, da uma pesquisada.

$\frac{(x+3)-2(x-4)}{(x-4)(x+3)} < 0$

$\frac{-x+11}{x^2-x-12} < 0$

Chegamos em uma inequação quociente.

Vamos chamar o numerador de f(x) e denominador de g(x). Depois achar as raízes de cada função e fazer o estudo de sinais, que é o que faremos agora:

$f(x)=-x + 11 \Rightarrow 0 = -x + 11 \Rightarrow x=11$
f(x) é uma função decrescente, ou seja, para valores de x acima de 11, a função vai ser negativa, e para valores de x abaixo de 11, positiva.

Vamos agora achar a raiz da função g(x) e fazer o estudo de sinais:
$g(x)=x^2 - x - 12 \Rightarrow 0 = x^2 - x - 12 \Rightarrow x' = -3$ e são as raízes.
g(x) é uma função com concavidade para cima, então para valores de x menor que -3, a função é positiva. Para valores de x maior que 4, a função também é positiva. E para valores de x entre -3 e 4, a função é negativa.

Depois é só fazer o jogo de sinais.
JogoDeSinais.png

Essa é a solução
Qualquer dúvida comenta ai.
E tente fazer a 2.

Ah sim..vlw..outra dúvida..se aqui nessa expressão $\frac{(x+3)-2(x-4)}{(x-4)(x+3)} < 0$ eu pegar o

e fazer por inequações-produto que no caso ficaria x<4

e

ao invés de ir para uma equação do segundo grau e calcular delta, poderia tbm né? ou não daria o mesmo resultado em todas? Abraços.

por **Rafael16** » Qui Mai 30, 2013 23:27

Lenin escreveu:Ah sim..vlw..outra dúvida..se aqui nessa expressão $\frac{(x+3)-2(x-4)}{(x-4)(x+3)} < 0$ eu pegar o e fazer por inequações-produto que no caso ficaria e ao invés de ir para uma equação do segundo grau e calcular delta, poderia tbm né? ou não daria o mesmo resultado em todas? Abraços.

Sim, chegaríamos no mesmo lugar. Veja:

g(x)=x-4

$\Rightarrow$ $0 = x - 4 \Rightarrow x = 4$
$h(x) = x + 3 \Rightarrow 0=x+3 \Rightarrow x=-3$

Jogando na reta para fazer o jogo de sinais, fica:

: JogoDeSinais2.png (2.8 KiB) Exibido 5622 vezes

Depois temos que fazer o jogo de sinais dessa reta com a reta do numerador.

por **Lenin** » Sáb Jun 01, 2013 01:00

Rafael16 escreveu:
Lenin escreveu:Ah sim..vlw..outra dúvida..se aqui nessa expressão $\frac{(x+3)-2(x-4)}{(x-4)(x+3)} < 0$ eu pegar o e fazer por inequações-produto que no caso ficaria e ao invés de ir para uma equação do segundo grau e calcular delta, poderia tbm né? ou não daria o mesmo resultado em todas? Abraços.

Sim, chegaríamos no mesmo lugar. Veja:

$\Rightarrow$ $0 = x - 4 \Rightarrow x = 4$
$h(x) = x + 3 \Rightarrow 0=x+3 \Rightarrow x=-3$

Jogando na reta para fazer o jogo de sinais, fica:
JogoDeSinais2.png

Depois temos que fazer o jogo de sinais dessa reta com a reta do numerador.