Logarítmos UECE

[Amanda185]

Estou iniciando logaritmos e tenho muita dificuldade... Não consegui desenvolver essa:

6. (UECE – 2007) Se x = p é a solução em R da equação 2 logx2 – log2x = 0, então:

[Amanda185]

Estou iniciando logaritmos e tenho muita dificuldade... Não consegui desenvolver essa:

6. (UECE – 2007) Se x = p é a solução em R da equação 2 logx2 – log2x = 0, então:

Alguém sabe essa? Não consegui desenvolver...

[nicholasrr]

[resolução]

Amanda,
para resolver essa questão, basta-nos passar os logaritmos para o lado do 0, obtendo:
2 = logx 2 + log2 x
Sabemos que loga b = logc b/logc a. Usando essa propriedade:

2 = (log 2)/(log x) + (log x)/(log 2).

Seja (log 2)/(log x) = k. Então vale:

2 = k + 1/k.

Multiplicando por k, chegamos em:

k^2 + 1 = 2k --> k^2 - 2k + 1 = 0 --> (k-1)^2 = 0 --> k = 1.

Logo, se k = 1, log 2 = log x. Mas como a função logaritmíca é injetiva, 2 = x, x = 2.

x está entre 3/2 e 5/2.