Função quadrática

por **Ananda** » Sex Mar 28, 2008 16:00

Boa tarde!

Eis o exercício:

Ache os pontos comuns aos gráficos das funções $f: [1; +\infty[ \,\rightarrow [-1;+\infty[$ definida por $f(x)= \frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}-\frac{3}{4}$ e sua inversa $f^{-1}$ .

Bom, tive que procurar na internet como achar a função inversa de uma função quadrática e cheguei a:

$f^{-1}(x)=1+2\,\sqrt[]{1+x}$

Daí igualei as duas funções, mas não consegui resolver por causa do x dentro da raiz.
Elevei os dois lados ao quadrado, mas também não obtive sucesso.

$x^2-2x-3=4(2\,\sqrt[]{1+x})$

A resposta é: $(3+2\,\sqrt[]{3}\,;\, 3+2\,\sqrt[]{3})$

Grata desde já!

Excelente final de semana!

por **admin** » Sex Mar 28, 2008 19:32

Olá Ananda, boa noite!

De fato, a função inversa que você obteve está correta.

Mas, nem é necessário obtê-la se você utilizar uma propriedade da função inversa (que pode ser provada):
Os gráficos cartesianos de

e $f^{-1}$ são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.

Primeiro, pense sobre esta propriedade e tente utilizá-la na resolução.

Outras dicas para suas reflexões:

1) atualize os estudos sobre domínio e imagem de uma função e sua inversa.

2) Considere um caso mais simples. Desenhe os gráficos da parábola y=x^2

e sua função inversa.
Calcule e observe o ponto comum. Relacione com a propriedade citada.

Bons estudos! Vamos conversando...

por **Ananda** » Sex Mar 28, 2008 19:48

Hmmm...
Bom, pensei nisso da simetria dos gráficos sim, mas depois de vê-los em um programa. Vi que o ponto de intersecção é no primeiro quadrante.
Ah sim, sei que o domínio da função é o contradomínio da inversa, e vice-versa!
Mas mesmo com essas informações, ainda não consegui encontrar minha "luz" no exercício!
Mas bem, farei o que me falaste e amanhã te digo o obtido!

Grata!

por **admin** » Sex Mar 28, 2008 19:58

OK, a dica 1 foi apenas com o intuito de revisar.

Eu não comentei intencionalmente um pequeno detalhe que resolve o problema, mas você vai perceber como conseqüência da propriedade. Acho que será sua "luz".

Até amanhã!

por **Ananda** » Sex Mar 28, 2008 21:03

Eu consegui!
Ai que felicidade! rs
Como o domínio de uma é a imagem da outra, na interseção f(x) será igual a x!

Grata!

por **Ananda** » Sex Mar 28, 2008 21:06

Ah, e daí só considero a possibilidade positiva, porque não há raiz quadrada negativa!
Daí só resta o primeiro quadrante!

por **admin** » Sex Mar 28, 2008 21:25

Que ótimo, eu também fico feliz!

A propriedade diz, em outras palavras, que o eixo de simetria entre uma função e sua inversa é a reta y=x

.
Ou seja, como as funções são simétricas, um ponto em comum estará necessariamente sobre a bissetriz y=x

.

Até mais.
Bom final de semana!

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