Inequação Trigonométrica

por **Rafael16** » Qui Mai 23, 2013 21:28

Boa noite!
Resolva, no intervalo $0\leq x \leq pi$ , a inequação $cos(2x) + 2cos^2x \leq 0$ .

Tentei resolver da seguinte maneira (que nem sei se estou no caminho certo :-P

):

$cos(2x) + 2cos^2x \leq 0$

Transformei cos(2x) em produto:

$2.cos(x) + 2cos^2(x) \leq 0$

$2.cos(x) . [1 + cos(x)] \leq 0$

Cheguei nessa inequação produto, e tentei fazer o procedimento igual numa inequação produto comum (transformar cada fator em função, achar as raízes e '"jogar" as raízes na reta pra fazer o jogo de sinais)

A raíz de 2cos(x)=0 é x=pi/2 e a raíz de 1 + cos(x) = 0 é x= pi

Mas na hora de colocar na reta me confundi.
Como que faço esse trem? :-D

Resposta:

{ $x\in R|\frac{pi}{3} \leq x \leq \frac{2.pi}{3}$ }

por **Molina** » Qui Mai 23, 2013 21:55

Boa noite, Rafael.

Não entendi muito bem essa sua transformação, pois cos(2x) = cos^2x - sen^2x

. Assim:

$cos(2x) + 2 cos^2x \leq 0$

$cos^2x - sen^2x + 2 cos^2x \leq 0$

$3cos^2x - sen^2x \leq 0$

$3cos^2x \leq sen^2x$

$3 \leq \frac{sen^2x}{cos^2x}$

$3 \leq tg^2x}$

... Talvez assim saia! :y:

por **Rafael16** » Qui Mai 23, 2013 23:07

Valeu Molina!

Então $tg(x)\geq \sqrt[]{3}$ tem como solução $\frac{pi}{3} \leq x < \frac{pi}{2}$ ou $\frac{4.pi}{3} \leq x < \frac{3.pi}{2}$ .
Então a resposta esta errada, né?

Molina escreveu:Não entendi muito bem essa sua transformação, pois .

Fiz assim:
$cos(a + b)=2.cos(\frac{a+b}{2}).cos(\frac{a-b}{2})$

$cos(x + x)=2.cos(\frac{x+x}{2}).cos(\frac{x-x}{2})$

cos(2x)=2.cos(x)

Esta certo assim também?

por **Molina** » Qui Mai 23, 2013 23:20

Boa noite.

Vou tentar resolver sem utilizar tangente, pois em $\frac{\pi}{2}$ ela não está definida, como você salientou. Mas observe que este ponto é uma solução da inequação. Volto a fazer contato em breve.

:y:

por **Molina** » Qui Mai 23, 2013 23:31

Boa noite.

Com algo parecido não precisamos de tangente:

$cos(2x) + 2 cos^2x \leq 0$

$cos^2x - sen^2x + 2 cos^2x \leq 0$

$3cos^2x - sen^2x \leq 0$

$3cos^2x - (1 - cos^2x) \leq 0$

$3cos^2x - 1 + cos^2x \leq 0$

$4cos^2x \leq 1$

$cos^2x \leq \frac{1}{4}$

:y: