[Teoria dos números]Prove que ... não é um quadrado perfeito

por **guisaulo** » Sáb Mar 30, 2013 18:10

Prove que

ou

não é um quadrado perfeito. Sua prova e construtiva ou não construtiva?

Sei que quadrado perfeito é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9...
Porém, não consigo montar uma estrategia para provar essa sentença...

por **e8group** » Sáb Mar 30, 2013 21:17

Bom meu conhecimento em teoria dos números é nulo ,mas vamos tentar . Suponha que exista algum $\gamma$ natural tal que $2 \cdot 10^{500} + 15 = \gamma ^2$ .Sabemos que $10^{500} = 2^{500} \cdot 5^{500}$ e que $15 = 5 \cdot 3$ . Assim , $2 \cdot 10^{500} + 15 = \gamma ^2 \iff 2^{501} \cdot 5^{500} + 3 \cdot 5 = \gamma ^2$ e isto equivale a dizer que $5\cdot (2^{501}\cdot 5^{499} + 3) = \gamma^2$ e ainda $5 \cdot (2^{2} \cdot 10^{499} + 3) = \gamma^2$ .Ao extrairmos a raiz quadrada de ambos membros deveríamos obter algum $\gamma$ natural ,mas isto não acontece ,pois ,

$\gamma = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2^{4} \cdot 5^{499} + 3}$ .De $\sqrt{5}$ ser irracional e por $2^{4} \cdot 5^{499} + 3$ não ser divísel por

,resulta que $\gamma$ não é natural que contradiz a hipótese ,sendo assim , $2 \cdot 10^{500} + 15$ não é um quadrado perfeito .Se a resolução estiver correta , o outro caso é análogo ...